Equações do 1º grau

Conceito e forma geral

Uma equação do 1º grau em uma incógnita é uma igualdade que, após simplificação, pode ser escrita na forma ax + b = 0, com a ≠ 0.

ax + b = 0, com a \neq 0

Nessa escrita, x é a incógnita, a é seu coeficiente e b é o termo constante. Resolver é encontrar os valores que tornam a igualdade verdadeira. Uma forma mais ampla é ax + b = cx + d; reunindo os termos, obtém-se (a - c)x = d - b. A classificação depende desses dois resultados.

Nesta aula, a incógnita não aparece ao quadrado, multiplicada por ela mesma, dentro de uma raiz ou no denominador. Ela pode, porém, aparecer nos dois membros da igualdade.

Elementos da equação

5x + 7 = 2x + 22

Primeiro membro: 5x + 7, o lado esquerdo.
Segundo membro: 2x + 22, o lado direito.
Incógnita: x.
Coeficientes da incógnita: 5 e 2.
Termos constantes: 7 e 22.
Solução: um valor de x que torna os dois membros iguais.
Conjunto solução: o conjunto de todos os valores que resolvem a equação.

Princípio da equivalência

Podemos somar ou subtrair a mesma quantidade nos dois membros. Em x - 4 = 9, somar 4 aos dois lados produz x - 4 + 4 = 9 + 4 e, portanto, x = 13.

Também podemos multiplicar ou dividir os dois membros pelo mesmo número não nulo. Por exemplo, de 3x = 18, dividir ambos os membros por 3 leva a x = 6.

x - 4 = 9

x - 4 + 4 = 9 + 4

x = 13

Divisão por zero é proibida. A frase “passar para o outro lado trocando o sinal” é apenas um atalho: o que de fato acontece é a aplicação da operação inversa nos dois membros.

Equações simples e coeficientes negativos

4x - 7 = 13

4x - 7 + 7 = 13 + 7, logo 4x = 20

Dividindo por 4: x = 5 e S = {5}.

7 - 3x = 19

Subtraindo 7 dos dois membros: -3x = 12

Dividindo por -3: x = -4. Verificação: 7 - 3(-4) = 19.

O sinal negativo pertence ao coeficiente; dividir os dois membros por um número negativo não inverte nenhum sinal de comparação, pois há uma igualdade, e não uma desigualdade.

Incógnita nos dois membros

Reúna os termos com x em um membro e as constantes no outro, sempre realizando a mesma operação nos dois lados.

5x + 7 = 2x + 22

Subtraindo 2x dos dois membros: 3x + 7 = 22

Subtraindo 7: 3x = 15

Dividindo por 3: x = 5; S = {5}.

Verificação: 5 · 5 + 7 = 32 e 2 · 5 + 22 = 32.

Parênteses, colchetes e distributiva

2(3x - 1) - 4 = 3(x + 2)

6x - 2 - 4 = 3x + 6

6x - 6 = 3x + 6; 3x = 12; x = 4.

Verificação: 2(3 · 4 - 1) - 4 = 18 e 3(4 + 2) = 18.

3 - [2x - (5 - x)] = 7

3 - [2x - 5 + x] = 7

3 - (3x - 5) = 7; 3 - 3x + 5 = 7

-3x = -1; x = 1/3.

A distributiva deve atingir todos os termos. Um sinal negativo antes de um agrupamento troca todos os sinais internos. Reduza termos semelhantes antes de isolar x.

Frações e eliminação pelo MMC

Com denominadores diferentes, calcule o MMC e multiplique todos os termos dos dois membros por ele.

x/2 + x/3 = 10; MMC(2, 3) = 6

6 · x/2 + 6 · x/3 = 6 · 10

3x + 2x = 60; 5x = 60; x = 12; S = {12}.

Verificação: 12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10.

(x - 1)/3 - (x + 2)/2 = 1; MMC = 6

2(x - 1) - 3(x + 2) = 6

2x - 2 - 3x - 6 = 6; -x = 14; x = -14.

Não multiplique somente os numeradores nem elimine denominadores parcialmente: a transformação deve atingir a equação inteira.

Coeficientes decimais

Multiplicar todos os termos por uma potência de 10 pode produzir uma equação inteira equivalente.

0,2x - 0,5 = 1,1

Multiplicando todos os termos por 10: 2x - 5 = 11

2x = 16; x = 8; S = {8}.

Verificação: 0,2 · 8 - 0,5 = 1,6 - 0,5 = 1,1.

Modelagem de problemas

Defina a incógnita.
Identifique as relações do enunciado e traduza-as em uma equação.
Resolva, verifique e interprete a resposta no contexto.
Rejeite um resultado incompatível apenas quando o contexto exigir.

Dois números consecutivos somam 41. Se o primeiro é x, o segundo é x + 1.

x + (x + 1) = 41; 2x + 1 = 41; 2x = 40; x = 20.

Os números são 20 e 21; 20 + 21 = 41.

Daqui a 5 anos, uma pessoa terá o dobro da idade que tinha há 7 anos.

x + 5 = 2(x - 7); x + 5 = 2x - 14; x = 19.

Verificação: 24 é o dobro de 12. Em contagens, uma solução negativa pode ser incompatível; em temperatura, saldo ou deslocamento, ela pode fazer sentido.

Conjunto solução

Considerando o universo dos números reais, uma solução x = 5 é escrita como S = {5}. Se uma transformação equivalente leva a uma igualdade falsa, como 1 = -2, então S = ∅ e a equação é impossível.

Se leva a uma identidade, como 0 = 0, então S = ℝ: qualquer número real satisfaz a igualdade. Isso só vale quando 0 = 0 surge de transformações equivalentes válidas.

Uma, nenhuma ou infinitas soluções

De ax + b = cx + d, obtemos (a - c)x = d - b.

Se a - c ≠ 0, existe uma solução: x = (d - b)/(a - c).
Se a - c = 0 e d - b = 0, há infinitas soluções: S = ℝ.
Se a - c = 0 e d - b ≠ 0, não há solução: S = ∅.

4x + 8 = 4(x + 2) → 4x + 8 = 4x + 8 → 0 = 0; S = ℝ.

3x + 1 = 3x - 2 → 1 = -2; S = ∅.

Pegadinhas frequentes

Divisão por zero é proibida.
Apresente a mesma operação nos dois membros; “trocar de lado” é somente um atalho.
A incógnita pode aparecer nos dois membros.
A distributiva atinge todos os termos, e o sinal negativo altera todos os sinais do agrupamento.
O MMC multiplica todos os termos dos dois membros; não cancele termos separados por adição ou subtração.
0 = 0 indica infinitas soluções apenas após passos equivalentes; uma igualdade numérica falsa indica nenhuma.
Não divida pela própria incógnita sem analisar o caso x = 0.
Verifique na equação original e interprete o resultado no contexto.

Método geral

Leia, identifique x e os dois membros.
Localize parênteses, colchetes, frações e decimais.
Elimine agrupamentos pela distributiva, denominadores pelo MMC e decimais por potências de 10 quando conveniente.
Reduza termos semelhantes em cada membro.
Reúna os termos com incógnita em um membro e as constantes no outro.
Aplique operações iguais nos dois membros e divida pelo coeficiente não nulo de x.
Escreva S, substitua na equação original e interprete o contexto.
Quando necessário, classifique como uma, nenhuma ou infinitas soluções.

Questões resolvidas

1. Equação simples

Resolva 5x + 3 = 28.

Subtraindo 3: 5x = 25. Dividindo por 5: x = 5.

S = {5}. Verificação: 5 · 5 + 3 = 28.

2. Coeficiente negativo

Resolva 7 - 3x = 19.

Subtraindo 7 dos dois membros: -3x = 12. Dividindo por -3: x = -4.

S = {-4}. Verificação: 7 - 3(-4) = 19.

3. Dois membros

Resolva 5x + 7 = 2x + 22.

Subtraindo 2x: 3x + 7 = 22. Subtraindo 7: 3x = 15.

x = 5; S = {5}. Verificação: ambos os membros valem 32.

4. Distributiva

Resolva 3(x - 2) = 12.

3x - 6 = 12. Somando 6 aos dois membros: 3x = 18.

x = 6; S = {6}. Verificação: 3(6 - 2) = 12.

5. Parênteses nos dois membros

Resolva 2(3x - 1) - 4 = 3(x + 2).

6x - 6 = 3x + 6. Subtraindo 3x e somando 6: 3x = 12.

x = 4; S = {4}. Na original, os dois membros valem 18.

6. Agrupamentos aninhados

Resolva 3 - [2x - (5 - x)] = 7.

3 - [2x - 5 + x] = 7; 3 - (3x - 5) = 7.

8 - 3x = 7; -3x = -1; x = 1/3; S = {1/3}.

Verificação: 3 - [2/3 - (14/3)] = 7.

7. Frações com MMC

Resolva x/2 + x/3 = 10.

MMC(2,3) = 6. Multiplicando todos os termos: 3x + 2x = 60.

5x = 60; x = 12; S = {12}. Verificação: 6 + 4 = 10.

8. Decimais

Resolva 0,2x - 0,5 = 1,1.

Multiplicando todos os termos por 10: 2x - 5 = 11; 2x = 16.

x = 8; S = {8}. Verificação: 1,6 - 0,5 = 1,1.

9. Uma solução

Resolva 2x + 1 = 9.

Subtraindo 1: 2x = 8. Dividindo por 2: x = 4.

S = {4}. A substituição dá 2 · 4 + 1 = 9.

10. Nenhuma solução

Resolva 3x + 1 = 3x - 2.

Subtraindo 3x dos dois membros, resta 1 = -2.

A igualdade é falsa: S = ∅. Não existe valor de x que a torne verdadeira.

11. Infinitas soluções

Resolva 4x + 8 = 4(x + 2).

Desenvolvendo: 4x + 8 = 4x + 8. Subtraindo 4x + 8 dos dois membros: 0 = 0.

A identidade vale para todo real: S = ℝ.

12. Números consecutivos

A soma de dois consecutivos é 41.

Se o primeiro é x, o outro é x + 1: x + (x + 1) = 41.

2x = 40; x = 20; S = {20}. Os números são 20 e 21, cuja soma é 41.

13. Problema de idade

Daqui a 5 anos, uma pessoa terá o dobro da idade de 7 anos atrás.

Idade atual x: x + 5 = 2(x - 7). Logo x + 5 = 2x - 14.

x = 19; S = {19}. Aos 24 anos, ela terá o dobro dos 12 anos que tinha sete anos antes.

A) Somar 4 apenas ao primeiro membroB) Subtrair 4 apenas do segundo membroC) Somar 4 aos dois membrosD) Multiplicar apenas o segundo membro por 4

Gabarito comentado:

1-B: subtraindo 7 dos dois membros, x = 19 - 7 = 12; S = {12}. 2-A: dividindo ambos os membros por -4, x = 20/(-4) = -5; S = {-5}. 3-A: x aparece com expoente 1, sem raiz ou denominador; as demais alternativas não são de 1º grau nessa forma. 4-C: 3x = 15 após subtrair 4; x = 5 e 3 · 5 + 4 = 19. 5-C: o primeiro membro é todo o lado esquerdo, 5x + 7. 6-C: x + 2x = 27, logo 3x = 27 e x = 9; o contexto confirma 9 + 18 = 27.

7-C: somando 7 aos dois membros, 4x = 20; dividindo por 4, x = 5; S = {5}. 8-B: subtraindo x, 9 = 2x - 1; somando 1, 10 = 2x; portanto x = 5. 9-C: pela distributiva, 3x - 6 = 12; somando 6, 3x = 18 e x = 6. 10-B: subtraindo 3, x/4 = 2; multiplicando ambos os membros por 4, x = 8. 11-C: multiplicando todos os termos por 10, 2x - 5 = 11; 2x = 16 e x = 8. 12-D: subtraindo 3x, surge 1 = -2, igualdade falsa; por isso S = ∅.

13-B: subtraindo 2x, 3x + 7 = 22; depois 3x = 15 e x = 5; S = {5}. 14-C: a distributiva produz 6x - 6 = 3x + 6; subtraindo 3x e somando 6, 3x = 12 e x = 4. 15-D: MMC(2,3) = 6; multiplicando todos os termos, 3x + 2x = 60, então x = 12; S = {12}. 16-C: multiplicando por 10, 4x + 12 = x + 36; 3x = 24 e x = 8. 17-B: 4(x + 2) = 4x + 8; a igualdade se reduz a 0 = 0, portanto é verdadeira para todo real e S = ℝ. 18-C: somar 4 aos dois membros preserva a igualdade e elimina o termo -4 do primeiro membro, produzindo x = 13.

Resumo final

Uma equação é uma igualdade com incógnita; após simplificação, uma de 1º grau pode ser escrita como ax + b = 0, com a ≠ 0.
A incógnita pode aparecer nos dois membros, e operações equivalentes devem atingir ambos.
Divisão por zero é proibida; a distributiva atinge todos os termos.
O MMC multiplica todos os termos e decimais podem ser eliminados por uma potência de 10.
Uma solução: S = {a}; nenhuma: S = ∅; infinitas: S = ℝ.
Verifique na equação original e interprete sempre o contexto do problema.