EstudaMath

Expressões algébricas

Traduzindo situações para a linguagem da álgebra

Expressões algébricas combinam números, letras e operações para representar quantidades e relações.

O que é uma expressão algébrica?

Uma expressão algébrica combina números, variáveis, operações, potências e sinais de associação.

TipoExemploSignificado
Expressão3x + 5Não precisa possuir sinal de igualdade.
Igualdade3x + 5 = 2x + x + 5Afirma que duas expressões têm o mesmo valor.
Equação3x + 5 = 20Pede valores que tornam a igualdade verdadeira.

Nesta aula, trabalharemos a construção, avaliação e simplificação de expressões, sem aprofundar a resolução de equações.

Elementos da expressão

Os termos principais são separados por adições ou subtrações que estejam fora de parênteses, colchetes e chaves. Em 5x - (2x - 3), os termos principais são 5x e -(2x - 3).

O sinal pertence ao termo. Em -5x, o coeficiente é -5. Também: x = 1x e -x = -1x.

Elemento de -3a2bValor
Sinalnegativo
Coeficiente-3
Parte literala2b
Expoentes2 em a e 1 em b
Grau do monômio2 + 1 = 3

Linguagem algébrica

FraseExpressão
Sucessor e antecessor de xx + 1 e x - 1
Dois números consecutivosx e x + 1
Número par e número ímpar2n e 2n + 1
Soma e produto de x e yx + y e xy
Quociente de x por yx/y, com y ≠ 0
Média de a e b(a + b)/2
Triplo da soma de x e 23(x + 2)
Triplo de x somado a 23x + 2
Quadrado da soma de x e y(x + y)2
Soma dos quadradosx2 + y2

3(x + 2) ≠ 3x + 2 e (x + y)2 ≠ x2 + y2.

Ordem das operações

  1. Parênteses, colchetes e chaves.
  2. Potências e raízes.
  3. Multiplicações e divisões, da esquerda para a direita.
  4. Adições e subtrações, da esquerda para a direita.

-22 = -(22) = -4, mas (-2)2 = 4.

-33 = -27 e (-3)3 = -27. Os resultados coincidem porque o expoente é ímpar, embora as escritas tenham estruturas diferentes.

Valor numérico

Antes de substituir, confira se o valor é permitido. Use parênteses ao substituir números negativos.

Para a = -2 e b = 3: a2 - 2ab = (-2)2 - 2(-2)(3) = 4 + 12 = 16.

Em (x + 1)/(x - 2), para x = 5: 6/3 = 2. Para x = 2, a substituição não é permitida.

Termos semelhantes

Possuem as mesmas variáveis e os mesmos expoentes, independentemente da ordem das letras. Assim, 3xy2 e -5y2x são semelhantes.

3x2y e 3xy2 não são semelhantes. Constantes são semelhantes entre si: 7 - 3 + 10 = 14.

Não transforme 2x + 3x2 em 5x3; a adição não soma expoentes.

Redução e operações com monômios

4x2 - 3x + 5 + 2x2 + x - 8

= (4x2 + 2x2) + (-3x + x) + (5 - 8)

= 6x2 - 2x - 3.

3xy - 5yx + 2xy = (3 - 5 + 2)xy = 0.

Multiplicação: (3x)(-2x2) = -6x3: multiplique coeficientes e some expoentes de bases iguais.

Divisão: 12a3b/(3ab) = 4a2, respeitando as condições da divisão original. Divida coeficientes e subtraia expoentes.

Distributiva e sinais de agrupamento

a(b + c) = ab + ac   e   a(b - c) = ab - ac

-a(b + c) = -ab - ac;   -a(b - c) = -ab + ac.

-2(x - 3) = -2x + 6.

-(a - b + c) = -a + b - c.

3(x + 2) - 2(x - 4) = 3x + 6 - 2x + 8 = x + 14.

Resolva agrupamentos de dentro para fora:

2x - [3x - (4 - x)]

3x - (4 - x) = 3x - 4 + x = 4x - 4.

2x - (4x - 4) = -2x + 4.

Exemplo com chaves: {2x - [x - (3 - x)]} = 2x - (2x - 3) = 3.

Expressões equivalentes

Duas expressões são equivalentes quando produzem o mesmo valor para todos os valores permitidos das variáveis.

3(x + 2) - x = 3x + 6 - x = 2x + 6.

Logo, 3(x + 2) - x e 2x + 6 são equivalentes.

Coincidir em apenas um valor não prova equivalência: x + 1 e 2x coincidem para x = 1, mas não para todos os valores. A equivalência deve ser confirmada por transformações algébricas válidas no domínio adotado.

Grau da expressão

O grau de 4x3 - 2x + 1 é 3. O grau do monômio 3a2b3 é 2 + 3 = 5.

Em 2x3y + 5x2y4 - 7, os graus dos termos são 4, 6 e 0. O grau do polinômio é 6.

3x3 - 3x3 + 2x = 2x; portanto, o grau é 1, não 3.

  • Constante não nula possui grau 0.
  • Reduza termos semelhantes antes de determinar o grau.
  • Termos de coeficiente zero não determinam o grau.
  • Variável no denominador ou expoente negativo/fracionário impede a classificação polinomial usual.
  • O polinômio nulo não recebe grau usual nesta aula.

Restrições de existência

(x + 1)/(x - 2) exige x ≠ 2. Em (x + 1)/[(x - 2)(x + 3)], temos x ≠ 2 e x ≠ -3.

(x2 - 4)/(x - 2), com x ≠ 2.

[(x - 2)(x + 2)]/(x - 2) = x + 2, mas a restrição x ≠ 2 permanece.

A forma simplificada é equivalente à original somente no domínio permitido pela expressão original.

Nos reais, √(x - 3) exige x - 3 ≥ 0, isto é, x ≥ 3.

Pegadinhas

  • O sinal pertence ao termo, e os termos principais são separados apenas no nível externo.
  • -x2 e (-x)2 não são a mesma escrita.
  • -22 = -4, enquanto (-2)2 = 4.
  • xy2 e y2x são semelhantes; x2y e xy2, não.
  • Não se somam expoentes na adição.
  • A distributiva alcança todos os termos; sinal negativo troca todos os sinais internos.
  • (x + y)2 ≠ x2 + y2.
  • Coincidir para um valor não prova equivalência.
  • Determine o grau depois da redução.
  • Restrições originais permanecem após cancelamentos.
  • Denominador não pode ser zero; radicando de raiz par deve ser não negativo nos reais.

Método

  1. Identifique os níveis de agrupamento e os termos principais.
  2. Preserve o sinal de cada termo e identifique coeficientes, partes literais e constantes.
  3. Verifique as restrições da expressão original.
  4. Resolva agrupamentos de dentro para fora e potências antes de produtos externos.
  5. Aplique a distributiva a todos os termos e retire sinais com atenção.
  6. Reordene e agrupe somente termos semelhantes.
  7. Reduza os coeficientes.
  8. No valor numérico, substitua negativos entre parênteses e confira se são permitidos.
  9. Para o grau, reduza primeiro e depois examine os expoentes.
  10. Preserve restrições após simplificações.
  11. Confira por desenvolvimento ou substituição de valores permitidos.

Questões resolvidas

1. Elementos da expressão

Questão: Identifique os termos, coeficientes, parte literal e termo constante de -4x2 + 3x - 8.

Os termos principais são -4x2, +3x e -8.

Em -4x2, o coeficiente é -4 e a parte literal é x2.

Em +3x, o coeficiente é 3 e a parte literal é x.

-8 não possui parte literal; é o termo constante.

Resposta: Termos: -4x2, 3x e -8; coeficientes: -4 e 3; constante: -8.

Verificação/observação: Os sinais foram mantidos junto aos respectivos termos.

2. Linguagem algébrica

Questão: Traduza para a linguagem algébrica: “o triplo da diferença entre x e 2”.

A diferença entre x e 2 é x - 2.

Como toda a diferença deve ser triplicada, usamos parênteses.

Multiplicamos o agrupamento por 3: 3(x - 2).

Resposta: 3(x - 2).

Verificação/observação: 3x - 2 não seria equivalente, pois apenas x estaria sendo triplicado.

3. Valor numérico

Questão: Calcule a2 - 2ab para a = -2 e b = 3.

Substituição: (-2)2 - 2(-2)(3).

Potência: (-2)2 = 4.

Produto: -2(-2)(3) = +12.

Soma: 4 + 12 = 16.

Resposta: 16.

Verificação/observação: Os parênteses garantem que o sinal negativo de a faça parte da base elevada ao quadrado.

4. Potência e sinal

Questão: Calcule -x2 + 3x para x = -2.

Substituição: -(-2)2 + 3(-2).

Primeiro a potência: (-2)2 = 4.

O sinal externo produz -4; além disso, 3(-2) = -6.

Resultado: -4 - 6 = -10.

Resposta: -10.

Verificação/observação: -(-2)2 é o oposto do quadrado de -2; não é +4.

5. Redução de termos

Questão: Simplifique 4x2 - 3x + 5 + 2x2 + x - 8.

Agrupamos termos semelhantes: (4x2 + 2x2) + (-3x + x) + (5 - 8).

Reduzimos os coeficientes: 6x2 - 2x - 3.

Resposta: 6x2 - 2x - 3.

Verificação/observação: A distributiva inversa confirma os grupos; termos de graus diferentes não foram somados.

6. Distributiva negativa

Questão: Desenvolva -2(x - 3).

Multiplicamos -2 por x: -2x.

Multiplicamos -2 por -3: +6.

Reunimos os resultados: -2x + 6.

Resposta: -2x + 6.

Verificação/observação: Escolhendo x = 4: -2(4 - 3) = -2 e -2(4) + 6 = -2.

7. Agrupamentos aninhados

Questão: Simplifique 2x - [3x - (4 - x)].

Primeiro: 3x - (4 - x) = 3x - 4 + x = 4x - 4.

Depois: 2x - [4x - 4] = 2x - 4x + 4.

Reduzindo: -2x + 4.

Resposta: -2x + 4.

Verificação/observação: Para x = 1, a original e a simplificada valem 2.

8. Expressões equivalentes

Questão: Mostre que 3(x + 2) - x é equivalente a 2x + 6.

Aplicamos a distributiva: 3(x + 2) - x = 3x + 6 - x.

Reduzimos 3x - x = 2x.

Assim, obtemos 2x + 6.

Resposta: 3(x + 2) - x = 2x + 6.

Verificação/observação: A transformação algébrica vale para todo x, e não apenas para um valor particular.

9. Grau em várias variáveis

Questão: Determine o grau de 2x3y + 5x2y4 - 7.

Grau de 2x3y: 3 + 1 = 4.

Grau de 5x2y4: 2 + 4 = 6.

Grau da constante -7: 0.

O maior grau entre os termos não nulos é 6.

Resposta: Grau 6.

Verificação/observação: O grau do polinômio é o maior grau total de seus termos.

10. Grau após redução

Questão: Determine o grau de 3x3 - 3x3 + 5x2 - 2.

Os termos cúbicos se anulam: 3x3 - 3x3 = 0.

A expressão reduzida é 5x2 - 2.

O maior expoente restante é 2.

Resposta: Grau 2.

Verificação/observação: O grau deve ser determinado depois da redução dos termos semelhantes.

11. Restrição preservada

Questão: Simplifique (x2 - 4)/(x - 2), preservando a restrição original.

O denominador original exige x ≠ 2.

Fatoramos o numerador: x2 - 4 = (x - 2)(x + 2).

Para x ≠ 2, cancelamos o fator comum x - 2.

Resta x + 2, mantendo x ≠ 2.

Resposta: x + 2, com x ≠ 2.

Verificação/observação: Em x = 2, a forma original tem denominador zero; o cancelamento não elimina essa proibição.

12. Operações com monômios

Questão: Calcule (3x)(-2x2) e simplifique 12a3b/(3ab).

Produto: 3 · (-2) = -6 e x · x2 = x3.

Logo, (3x)(-2x2) = -6x3.

Divisão: 12/3 = 4, a3/a = a2 e b/b = 1.

Logo, 12a3b/(3ab) = 4a2, nas condições da divisão original.

Resposta: -6x3 e 4a2.

Verificação/observação: No produto, expoentes de bases iguais foram somados; na divisão, foram subtraídos.

Exercícios

Fácil

1. Em -7x2, o coeficiente numérico é:

A) 7B) -7C) xD) 2
Fácil

2. Em 3x + 5, o termo constante é:

A) 3B) xC) 5D) 3x
Fácil

3. Em -3a2b, a parte literal é:

A) -3B) a2C) a2bD) 3a2b
Fácil

4. Qual par é formado por termos semelhantes?

A) 3xy2 e -5y2xB) 3x2y e 3xy2C) 4a e 4bD) 2x e 2x2
Fácil

5. Reduza 3x + 5x.

A) 15xB) 8xC) 8x2D) 2x
Fácil

6. Qual alternativa apresenta somente uma expressão, e não uma igualdade ou equação?

A) 3x + 5B) 3x + 5 = 3x + 5C) 3x + 5 = 20D) x = 4
Médio

7. Para a = -2 e b = 3, o valor de a2 - 2ab é:

A) -16B) -8C) 8D) 16
Médio

8. Os valores de -22 e (-2)2 são, respectivamente:

A) 4 e 4B) -4 e 4C) -4 e -4D) 4 e -4
Médio

9. Reduza 4x2 - 3x + 5 + 2x2 + x - 8.

A) 6x2 - 4x - 3B) 6x2 - 2x + 13C) 6x2 - 2x - 3D) 6x4 - 2x - 3
Médio

10. A forma desenvolvida de -2(x - 3) é:

A) -2x + 6B) -2x - 6C) 2x - 6D) -2x + 3
Médio

11. Um retângulo possui lados x e x + 2. Seu perímetro é:

A) 2x + 2B) 2x + 4C) 4x + 2D) 4x + 4
Médio

12. O produto (3x)(-2x2) é:

A) -6x2B) 6x3C) -6x3D) -5x3
Difícil

13. O valor de -x2 + 3x para x = -2 é:

A) 10B) -10C) -2D) 2
Difícil

14. Simplifique 2x - [3x - (4 - x)].

A) 2x - 4B) -2x - 4C) -2x + 4D) 4
Difícil

15. A expressão equivalente a 3(x + 2) - x é:

A) 2x + 6B) 2x + 2C) 3x + 6D) 4x + 2
Difícil

16. O grau de 3x3 - 3x3 + 5x2 - 2 é:

A) 3B) 2C) 1D) 0
Difícil

17. O grau de 2x3y + 5x2y4 - 7 é:

A) 3B) 4C) 5D) 6
Difícil

18. Ao simplificar (x2 - 4)/(x - 2), a forma equivalente completa é:

A) x + 2, para todo x realB) x + 2, com x ≠ 2C) x - 2, com x ≠ -2D) x + 2, com x = 2

Gabarito comentado:

1-B: o sinal pertence ao termo, logo o coeficiente é -7. 2-C: 5 é o termo sem parte literal. 3-C: -3 é coeficiente e a2b é a parte literal. 4-A: xy2 = y2x. 5-B: somam-se os coeficientes, 3 + 5 = 8. 6-A: 3x + 5 não possui igualdade.

7-D: (-2)2 - 2(-2)(3) = 4 + 12 = 16. 8-B: sem parênteses, -22 = -4; com parênteses, (-2)2 = 4. 9-C: agrupando termos semelhantes, resulta 6x2 - 2x - 3. 10-A: -2 multiplica x e -3, produzindo -2x + 6. 11-D: 2x + 2(x + 2) = 4x + 4. 12-C: coeficientes multiplicam e expoentes somam: -6x3.

13-B: -(-2)2 + 3(-2) = -4 - 6 = -10. 14-C: resolvendo de dentro para fora, resulta -2x + 4. 15-A: 3x + 6 - x = 2x + 6. 16-B: os termos cúbicos se anulam; sobra 5x2 - 2, de grau 2. 17-D: o termo 5x2y4 tem grau 2 + 4 = 6. 18-B: o cancelamento produz x + 2, mas a restrição original x ≠ 2 permanece.

Resumo final

  • Expressões combinam números, letras, operações, potências e agrupamentos.
  • O sinal pertence ao termo; coeficientes podem ser 1 ou -1 implícitos.
  • Termos principais são separados no nível externo da expressão.
  • Respeite a ordem das operações e substitua negativos com parênteses.
  • Termos semelhantes têm a mesma parte literal; somente seus coeficientes são reduzidos.
  • A distributiva alcança todos os termos e o sinal negativo troca todos os sinais internos.
  • Expressões equivalentes produzem os mesmos valores em todo o domínio permitido.
  • Determine o grau depois da redução; em monômios com várias letras, some os expoentes.
  • Denominadores não podem ser zero e restrições originais permanecem após simplificações.
  • Confira resultados por desenvolvimento ou substituição permitida.