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Equações biquadradas

Trocando x² por uma nova incógnita

Aprenda a reduzir equações com x⁴ a uma equação do 2º grau e a encontrar todas as soluções reais com segurança.

O que é uma equação biquadrada?

Uma equação biquadrada é uma equação de quarto grau com estrutura especial, pois apresenta apenas as potências x⁴, x² e x⁰. Não aparecem termos com x³ nem com x.

ax⁴ + bx² + c = 0, com a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0

Como x⁴ = (x²)², essa estrutura permite reduzi-la a uma equação do 2º grau.

Forma e identificação

Os coeficientes b ou c podem ser zero; somente a deve ser diferente de zero.

Biquadradas

2x⁴ - 7x² + 3 = 0; x⁴ - 16 = 0; 3x⁴ - 12x² = 0; 5x⁴ = 0.

Não biquadradas

x⁴ + x - 2 = 0; x⁴ - 2x³ + 1 = 0; x⁶ - 5x³ + 4 = 0. A última pode admitir outra substituição, mas não é biquadrada no sentido desta aula.

Substituição e equação auxiliar

y = x² e, nos reais, y ≥ 0

A condição y ≥ 0 existe porque y representa o quadrado de um número real. Como x⁴ = (x²)² = y², temos:

ax⁴ + bx² + c = 0

ay² + by + c = 0

y é uma incógnita auxiliar. Raízes auxiliares negativas devem ser descartadas no retorno para x, e a resposta final precisa ser escrita em x.

Retorno de y para x

Se y > 0

x² = y gera x = -√y e x = √y: duas soluções reais opostas.

Se y = 0

x² = 0 gera somente x = 0. Não conte ±0 como valores diferentes.

Se y < 0

x² = y não possui solução real.

Simetria das soluções

Para f(x) = ax⁴ + bx² + c, temos f(-x) = f(x). Portanto, se r ≠ 0 é solução, -r também é.

Se x = 3 satisfaz a equação, x = -3 também satisfaz.

0 é a única solução que pode aparecer sem uma parceira de sinal oposto.

Essa propriedade funciona como conferência do conjunto solução.

Quantidade de soluções reais

Duas auxiliares positivas distintas: quatro soluções.

Uma positiva e uma negativa: duas soluções.

Uma positiva e uma nula: três soluções.

Duas negativas: nenhuma solução.

Uma nula e uma negativa: somente x = 0.

Positiva repetida: duas soluções opostas.

Nula repetida: somente x = 0.

Uma equação biquadrada possui no máximo quatro soluções reais distintas.

Discriminante da equação auxiliar

Δ = b² - 4ac

Se Δ < 0, a auxiliar não tem raízes reais. Se Δ = 0, analise o sinal da raiz repetida. Se Δ > 0, ainda é necessário analisar os sinais das duas auxiliares.

x⁴ + x² + 1 = 0 → y² + y + 1 = 0

Δ = -3; portanto S = ∅.

Δ > 0 não garante quatro soluções em x. Também há S = ∅ quando a auxiliar possui raízes reais, mas todas são negativas.

Casos especiais e incompletos

b = 0

ax⁴ + c = 0. Em x⁴ - 16 = 0, y² - 16 = 0 dá y = 4 ou -4; somente y = 4 gera x = ±2.

c = 0

ax⁴ + bx² = x²(ax² + b) = 0. Em x⁴ - 9x² = 0, x = 0 ou x = ±3.

b = c = 0

ax⁴ = 0, com a ≠ 0, gera somente x = 0.

Método geral

  1. Organize em ax⁴ + bx² + c = 0.
  2. Confirme que a ≠ 0.
  3. Verifique que não existem termos com x³ ou x.
  4. Faça y = x², lembrando que y ≥ 0.
  5. Substitua x⁴ por y².
  6. Resolva a equação auxiliar.
  7. Analise o discriminante.
  8. Encontre as raízes auxiliares.
  9. Descarte valores negativos de y.
  10. Para y > 0, escreva x = ±√y.
  11. Para y = 0, escreva somente x = 0.
  12. Reúna e ordene as soluções sem repetições.
  13. Confira os pares opostos.
  14. Verifique na equação original.

Pegadinhas

  • A biquadrada é realmente de quarto grau.
  • y = x² implica y ≥ 0 nos reais.
  • Não confunda x⁴ com x² nem pare nas raízes auxiliares.
  • Δ > 0 não garante quatro soluções em x.
  • Δ = 0 exige analisar o sinal da auxiliar repetida.
  • Raiz auxiliar repetida não duplica soluções.
  • Auxiliar positiva gera duas soluções opostas; a nula gera somente x = 0; a negativa é descartada.
  • +0 e -0 são o mesmo número.
  • Não confunda auxiliares com soluções finais nem repita valores no conjunto.
  • Soluções não nulas aparecem em pares opostos.

Questões resolvidas

1. Identificação

Classifique 5x⁴ = 0.

Ela tem a = 5, b = 0 e c = 0. Como a ≠ 0 e não há x³ nem x, é biquadrada. Faça y = x², com y ≥ 0: 5y² = 0, então y = 0 e x = 0. S = {0}; uma solução real.

2. Quatro soluções reais

Resolva x⁴ - 13x² + 36 = 0.

Com y = x² ≥ 0: y² - 13y + 36 = 0. Fatorando, (y - 4)(y - 9) = 0; y = 4 ou 9. Logo x = ±2 ou x = ±3. S = {-3, -2, 2, 3}; quatro soluções. Verificação: 2⁴ - 13·2² + 36 = 0.

3. Uma auxiliar positiva e uma negativa

Resolva x⁴ - 3x² - 4 = 0.

Com y = x² ≥ 0: y² - 3y - 4 = (y - 4)(y + 1) = 0. As auxiliares são 4 e -1; descarte -1. De x² = 4, x = ±2. S = {-2, 2}; duas soluções reais.

4. Raiz auxiliar nula

Resolva x⁴ - 4x² = 0.

Com y = x² ≥ 0: y² - 4y = y(y - 4) = 0. Assim, y = 0 ou 4. O retorno dá x = 0 ou x = ±2. S = {-2, 0, 2}; três soluções reais distintas.

5. Fatoração direta

Resolva x⁴ - 9x² = 0.

Fatorando, x²(x² - 9) = 0. Equivalentemente, y(y - 9) = 0, com y = x² ≥ 0. Portanto x = 0 ou x = ±3. S = {-3, 0, 3}; três soluções.

6. Uma única solução real

Resolva x⁴ = 0.

Com y = x² ≥ 0: y² = 0, então y = 0. Logo x² = 0 e x = 0. S = {0}; uma solução real. +0 e -0 representam o mesmo número.

7. Auxiliares negativas

Resolva x⁴ + 5x² + 4 = 0.

Com y = x² ≥ 0: y² + 5y + 4 = (y + 1)(y + 4) = 0. As auxiliares -1 e -4 são negativas e devem ser descartadas. S = ∅; nenhuma solução real.

8. Coeficiente principal diferente de 1

Resolva 2x⁴ - 10x² + 8 = 0.

Com y = x² ≥ 0: 2y² - 10y + 8 = 0. Dividindo por 2, (y - 1)(y - 4) = 0. y = 1 ou 4; x = ±1 ou ±2. S = {-2, -1, 1, 2}; quatro soluções.

9. Discriminante negativo

Resolva x⁴ + x² + 1 = 0.

Com y = x² ≥ 0: y² + y + 1 = 0. Δ = 1² - 4·1·1 = -3. A auxiliar não possui raízes reais; portanto S = ∅. O motivo aqui é Δ < 0.

10. Raiz auxiliar repetida

Resolva x⁴ - 8x² + 16 = 0.

Com y = x² ≥ 0: y² - 8y + 16 = (y - 4)² = 0. Há somente y = 4. Logo x = ±2 e S = {-2, 2}; duas soluções. A repetição de y não duplica valores de x.

11. Raízes fracionárias

Resolva 3x⁴ - 10x² + 3 = 0.

Com y = x² ≥ 0: 3y² - 10y + 3 = 0. Δ = 64 e y = (10 ± 8)/6, isto é, y = 3 ou 1/3. Logo x = ±√3 ou ±√3/3. S = {-√3, -√3/3, √3/3, √3}; quatro soluções.

12. Raízes irracionais

Resolva x⁴ - 2x² - 3 = 0.

Com y = x² ≥ 0: y² - 2y - 3 = (y - 3)(y + 1) = 0. Descarte y = -1. De y = 3, x = ±√3. S = {-√3, √3}; duas soluções opostas.

13. Caso b = 0

Resolva x⁴ - 16 = 0.

Com y = x² ≥ 0: y² - 16 = (y - 4)(y + 4) = 0. y = 4 ou -4; descarte -4. De x² = 4, x = ±2. S = {-2, 2}; duas soluções.

14. Contagem sem listar primeiro

As auxiliares são y = 0 e y = 9. Quantas soluções existem?

Ambas respeitam y ≥ 0. y = 0 gera somente x = 0; y = 9 gera x = ±3. Assim, S = {-3, 0, 3}; três soluções reais distintas, conferidas pela simetria.

Exercícios

Fácil

1. Qual é a forma geral de uma equação biquadrada?

A) ax³ + bx + c = 0B) ax⁴ + bx² + c = 0, a ≠ 0C) ax² + bx + c = 0D) ax⁴ + bx³ + c = 0
Fácil

2. Qual expressão representa uma equação biquadrada?

A) x⁴ + x - 2 = 0B) x⁶ - 5x³ + 4 = 0C) 5x⁴ = 0D) x⁴ - 2x³ + 1 = 0
Fácil

3. Qual substituição reduz a biquadrada ao 2º grau?

A) y = x²B) y = x⁴C) y = 2xD) y = x³
Fácil

4. Se y = x² e x é real, qual condição sempre vale?

A) y < 0B) y ≠ 0C) y > 0D) y ≥ 0
Fácil

5. Se a raiz auxiliar é y = 9, quais valores reais de x surgem?

A) somente 9B) -3 e 3C) somente 3D) nenhum
Fácil

6. Se a raiz auxiliar é y = 0, qual é o retorno correto?

A) -0 e +0, como soluções distintasB) nenhuma solução realC) somente x = 0D) x = -1 e x = 1
Médio

7. Resolva x⁴ - 16 = 0 nos reais.

A) S = {-2, 2}B) S = {-4, 4}C) S = {-16, 16}D) S = ∅
Médio

8. Resolva x⁴ - 3x² - 4 = 0.

A) S = {-2, -1, 1, 2}B) S = {-2, 2}C) S = {-1, 4}D) S = ∅
Médio

9. Resolva x⁴ - 9x² = 0.

A) S = {-3, 3}B) S = {0, 9}C) S = {-3, 0, 3}D) S = {0}
Médio

10. Resolva x⁴ + 5x² + 4 = 0 nos reais.

A) S = {-2, -1, 1, 2}B) S = {-1, 1}C) S = {0}D) S = ∅
Médio

11. Resolva 2x⁴ - 10x² + 8 = 0.

A) S = {-4, -1, 1, 4}B) S = {-2, -1, 1, 2}C) S = {-2, 2}D) S = {-1, 1}
Médio

12. Se as auxiliares são uma positiva e uma negativa, quantas soluções reais distintas surgem?

A) nenhumaB) umaC) duasD) quatro
Difícil

13. Resolva x⁴ - 13x² + 36 = 0.

A) S = {-6, -4, 4, 6}B) S = {-3, 3}C) S = {-3, -2, 2, 3}D) S = {-9, -4, 4, 9}
Difícil

14. Resolva x⁴ - 8x² + 16 = 0.

A) S = {-4, 4}B) S = {-2, 0, 2}C) S = {0, 4}D) S = {-2, 2}
Difícil

15. Resolva x⁴ + x² + 1 = 0 nos reais.

A) S = ∅B) S = {-1, 1}C) S = {0}D) S = {-√3, √3}
Difícil

16. Resolva 3x⁴ - 10x² + 3 = 0.

A) S = {-√3, -√3/3, √3/3, √3}B) S = {-3, -1/3, 1/3, 3}C) S = {-√3, √3}D) S = {-1/3, 3}
Difícil

17. Se as auxiliares são y = 0 e y = 9, quantas soluções reais distintas existem?

A) umaB) duasC) trêsD) quatro
Difícil

18. Quantas soluções reais distintas possui x⁴ = 0?

A) nenhumaB) duasC) quatroD) uma

Gabarito comentado:

1-B: ax⁴ + bx² + c = 0, com a ≠ 0, é a forma geral; não há equação auxiliar a resolver.

2-C: 5x⁴ = 0 tem a = 5, b = c = 0. Com y = x² ≥ 0, 5y² = 0, y = 0 e S = {0}.

3-A: y = x² transforma x⁴ em y² e ax⁴ + bx² + c em ay² + by + c.

4-D: y representa o quadrado de um real; portanto y ≥ 0 e auxiliares negativas são inválidas.

5-B: x² = 9 retorna x = ±3. S = {-3, 3}; duas soluções opostas.

6-C: x² = 0 retorna somente x = 0. S = {0}; +0 e -0 não são distintos.

7-A: y² - 16 = 0 dá y = 4 ou -4. Descartando -4, x = ±2 e S = {-2, 2}.

8-B: y² - 3y - 4 = 0 dá y = 4 ou -1. Descarte -1; x = ±2 e S = {-2, 2}.

9-C: y² - 9y = y(y - 9) = 0 dá y = 0 ou 9. Logo x = 0 ou ±3; S = {-3, 0, 3}.

10-D: y² + 5y + 4 = 0 dá y = -1 ou -4. Ambas são negativas; S = ∅.

11-B: 2y² - 10y + 8 = 0 dá y = 1 ou 4. Logo x = ±1 ou ±2; S = {-2, -1, 1, 2}.

12-C: a auxiliar positiva gera x = ±√y e a negativa é descartada; total de duas soluções opostas.

13-C: y² - 13y + 36 = (y - 4)(y - 9). y = 4 ou 9; x = ±2 ou ±3; S = {-3, -2, 2, 3}.

14-D: y² - 8y + 16 = (y - 4)². A raiz repetida y = 4 retorna apenas x = ±2; S = {-2, 2}.

15-A: y² + y + 1 = 0 tem Δ = -3. A auxiliar não tem raiz real; S = ∅.

16-A: 3y² - 10y + 3 = 0 tem Δ = 64 e y = 3 ou 1/3. S = {-√3, -√3/3, √3/3, √3}.

17-C: y = 0 gera x = 0; y = 9 gera x = ±3. S = {-3, 0, 3}; três soluções.

18-D: y² = 0 dá y = 0 e x = 0. S = {0}; existe uma solução real distinta.

Resumo final

  • A biquadrada é de quarto grau e tem forma ax⁴ + bx² + c = 0, com a ≠ 0.
  • Faça y = x²; nos reais, y ≥ 0.
  • Resolva a auxiliar e analise seu discriminante.
  • y > 0 gera duas soluções, y = 0 gera uma e y < 0 não gera solução real.
  • Raiz auxiliar repetida não duplica soluções.
  • Soluções não nulas aparecem em pares opostos.
  • Há no máximo quatro soluções reais distintas.
  • A resposta final deve estar em x e ser verificada na equação original.