Condicional e Distribuições

Probabilidade condicional

Probabilidade condicional mede a chance de A ocorrer sabendo que B já ocorreu. O espaço amostral não e mais o original: agora você esta olhando apenas para os casos em que B vale.

Condicional

P(A|B) = P(A \cap B) / P(B)

Teorema de Bayes

P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)

Independencia x probabilidade condicional

Dois eventos sao independentes quando saber que um ocorreu não altera a chance do outro. Em simbolos, $P(A|B)=P(A)$ . Se essa igualdade falha, existe dependencia.

Situacao	Teste	Leitura
Independentes	$P(A \cap B)=P(A)P(B)$	Uma informacao não muda a outra.
Dependentes	$P(A\|B)\neqP(A)$	A informacao de B altera a chance de A.
Mutuamente exclusivos	$P(A \cap B)=0$	Não podem acontecer juntos.

!

Cuidado: eventos mutuamente exclusivos geralmente não sao independentes, exceto quando algum deles tem probabilidade zero.

Distribuicao binomial

Use quando há $n$ tentativas independentes, cada uma com sucesso ou fracasso, e probabilidade de sucesso constante.

Binomial

P(X = k) = C(n,k) p k (1 - p) n-k

Como reconhecer: número fixo de ensaios, dois resultados possiveis por ensaio, independencia e mesma probabilidade

p

.

Distribuicao hipergeométrica

Quando a amostragem e sem reposicao, as probabilidades mudam de um passo para outro. Nesses casos, a distribuicao correta deixa de ser binomial e passa a ser hipergeométrica.

Hipergeométrica

P(X = k) = [C(M,k) . C(N-M,n-k)] / C(N,n)

N = total, M = favoraveis no total, n = retiradas.

Exemplo

Uma urna tem 5 bolas vermelhas e 7 azuis. Retiram-se 3 sem reposicao. Qual a chance de sair exatamente 1 vermelha?

P = C(5,1).C(7,2) / C(12,3)

.

Geometrica, Poisson e normal

Binomial e hipergeométrica resolvem muitos problemas discretos, mas outros modelos aparecem quando a pergunta muda: esperar o primeiro sucesso, contar ocorrencias raras ou aproximar dados continuos.

Modelo	Use quando...	Fórmula central
Geometrica	queremos o número de tentativas até o primeiro sucesso	$P(X=k)=(1-p) k-1 p$
Poisson	contamos ocorrencias raras em intervalo fixo	$P(X=k)=e -λ λ k /k!$
Normal	dados se distribuem em torno de uma média com dispersao simetrica	padronizacao por $z=(x-μ)/σ$

Exemplo de decisao

Se uma central recebe em média 4 chamadas por minuto, qual modelo descreve o número de chamadas em um minuto?

Poisson, pois estamos contando ocorrencias em intervalo fixo com média conhecida.

Probabilidade total

Quando um evento pode ocorrer por caminhos diferentes e excludentes, some as probabilidades de cada caminho. E aqui que arvores de possibilidades costumam ajudar muito.

Particao do espaço amostral

P(B) = Σ P(B|A i)P(A i)

!

Arvore de probabilidades: multiplique ao longo dos ramos e some os caminhos alternativos que levam ao mesmo evento final.

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