Ponto de partida: adição e subtração
sen(a−b)=sena cosb−cosa senb
cos(a+b)=cosa cosb−sena senb
cos(a−b)=cosa cosb+sena senb
Somar ou subtrair pares adequados isola os produtos que originam as transformações.
Soma em produto e dedução
sena−senb=2cos((a+b)/2)sen((a−b)/2)
cosa+cosb=2cos((a+b)/2)cos((a−b)/2)
cosa−cosb=−2sen((a+b)/2)sen((a−b)/2)
Defina p=(a+b)/2 e q=(a−b)/2, de modo que a=p+q e b=p−q; então some ou subtraia as fórmulas de adição.
Produto em soma
cosa cosb=[cos(a−b)+cos(a+b)]/2
sena cosb=[sen(a+b)+sen(a−b)]/2
cosa senb=[sen(a+b)−sen(a−b)]/2
A última fórmula depende da ordem: trocar a e b muda a forma do termo sen(a−b), embora a expressão final continue equivalente pela paridade do seno.
sen(a+b)−sen(a−b)=2cosa senb
cos(a−b)+cos(a+b)=2cosa cosb
cos(a−b)−cos(a+b)=2sena senb
Dividir cada igualdade por 2 produz diretamente as quatro fórmulas de produto em soma.
Combinação linear na forma seno
R=√(A²+B²); Rcosφ=A; Rsenφ=B
Se A=B=0, R=0 e φ não é único. Se R>0, o quadrante de φ depende dos sinais de A e B.
Forma equivalente com cosseno
Rsenδ=A; Rcosδ=B
Escolha seno ou cosseno conforme facilite a fase inicial, os zeros ou os extremos.
Máximo, mínimo e imagem
imagem=[−R,R]; máximo R; mínimo −R
A senx+B cosx+C tem imagem [C−R,C+R]
Na forma seno, máximos ocorrem quando x+φ=π/2+2kπ e mínimos quando x+φ=3π/2+2kπ.
Equações e condição de existência
Se |C|>R, não há solução; se |C|=R, há uma posição extrema por período; se |C|<R, normalmente há duas por período. Depois filtre o intervalo solicitado.
Aplicações e estratégia
Transformações ajudam em fatoração, produtos em somas, somas em produtos, valores exatos, máximos, mínimos, imagem, zeros, equações, parâmetros e simplificações. Antes de escolher a fórmula, identifique se o objetivo é fatorar, reduzir frequências ou concentrar uma combinação linear.
Aplicações calculadas
Fatoração
cos5x+cosx=2cos3x cos2x. A soma transforma-se em produto e expõe os fatores.
Produto em soma
2sen4x cosx=sen5x+sen3x, útil para integrar frequências ou comparar harmônicos.
Valor exato
sen75°cos15°=[sen90°+sen60°]/2=(2+√3)/4.
Zeros
cos3x+cosx=2cos2x cosx=0; portanto cos2x=0 ou cosx=0, com as famílias obtidas separadamente.
Simplificação com domínio
(cos5x−cosx)/sen3x=−2sen2x, somente onde sen3x≠0.
Parâmetro
3senx+4cosx=p possui solução exatamente para −5≤p≤5; nos extremos há uma solução por período.
Equação em intervalo
senx+cosx=1 em [0,2π) equivale a √2sen(x+π/4)=1, resultando em x=0 ou x=π/2.
Máximo e mínimo
5senx−12cosx+4 tem R=13, imagem [−9,17], máximo 17 e mínimo −9.
Questões resolvidas
1. Soma em produto
Transforme sen5x+senx.
Média dos argumentos: 3x; semidiferença: 2x.
sen5x+senx=2sen3x cos2x.
2. Produto em soma
Transforme cos3x·senx.
Use cosa senb=[sen(a+b)−sen(a−b)]/2.
cos3x senx=[sen4x−sen2x]/2.
3. Combinação linear
Escreva 3senx+4cosx como uma senoide.
R=5, Rcosφ=3 e Rsenφ=4.
3senx+4cosx=5sen(x+φ), com cosφ=3/5 e senφ=4/5.
4. Imagem deslocada
Determine a imagem de 3senx−4cosx+2.
R=5; a combinação sem constante varia de −5 a 5.
Imagem [−3,7].
5. Condição de existência
Resolva 3senx+4cosx=6.
O módulo máximo da esquerda é R=5.
Como |6|>5, não há solução.
Exercícios
1. sen a+sen b é igual a:
2. Para 5senx+12cosx, R vale:
3. cosa·senb é:
4. A imagem de 6senx+8cosx−3 é:
5. Em cada período, 5senx+12cosx=13 possui:
6. A equação 3senx+4cosx=p possui solução real exatamente quando:
7. Quantas soluções sen3x+senx=0 possui em [0,2π)?
8. Uma oscilação é h(t)=4+3sent+4cost. Quando ela atinge o máximo, sent vale:
Gabarito comentado:
1-A: Some as fórmulas de sen(a+b) e sen(a−b).
2-B: √(25+144)=13.
3-C: A ordem gera sen(a+b)−sen(a−b).
4-B: R=10 e o deslocamento é −3.
5-B: A igualdade ocorre no máximo R=13, uma vez por período.
6-D: A condição é |p|≤5.
7-C: 2sen2x cosx=0 gera quatro valores distintos.
8-A: No máximo t+φ=π/2; sent=cosφ=3/5.
Resumo final
Controle a ordem dos argumentos, registre casos R=0, use R para imagem e existência e filtre soluções pelo intervalo.