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EstudaMath

Arco metade

Fórmulas para x/2

Obtenha razões da metade de um arco e reduza potências trigonométricas.

Dedução a partir do arco duplo

Defina u=x/2. Então 2u=x e podemos inverter as fórmulas do cosseno duplo.

Quadrado do seno da metade

Passo a passo da dedução

  1. Use uma forma do cosseno duplo.

    cos2u=1−2sen²u

  2. Isole o termo com seno.

    2sen²u=1−cos2u

  3. Divida por 2.

    sen²u=(1−cos2u)/2

  4. Substitua u=x/2.

    sen²(x/2)=(1−cosx)/2
Fórmula final
sen²(x/2)=(1−cosx)/2

Quadrado do cosseno da metade

Passo a passo da dedução

  1. Use a outra forma do cosseno duplo.

    cos2u=2cos²u−1

  2. Isole o termo com cosseno.

    2cos²u=1+cos2u

  3. Divida por 2.

    cos²u=(1+cos2u)/2

  4. Substitua u=x/2.

    cos²(x/2)=(1+cosx)/2
Fórmula final
cos²(x/2)=(1+cosx)/2

Fórmulas fundamentais da metade

sen²(x/2)=(1−cosx)/2
cos²(x/2)=(1+cosx)/2

Ao extrair a raiz quadrada, surgem duas possibilidades algébricas.

sen(x/2) = ±√[(1 - cosx)/2].

cos(x/2) = ±√[(1 + cosx)/2].

O sinal correto é determinado pelo quadrante de x/2, e não apenas pelo quadrante de x.

Extração de raízes

sen(x/2)=±√[(1−cosx)/2]
cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]

Determine x/2, reduza a uma volta, identifique o quadrante, escolha o sinal e simplifique.

Se x=480°, então x/2=240° está no III quadrante: sen(x/2)=−√3/2 e cos(x/2)=−1/2.

Tangente da metade

Novamente tome u = x/2 e use as fórmulas do arco duplo.

1. senx = sen2u = 2senu cosu.

2. 1 + cosx = 1 + cos2u = 2cos²u.

3. Divida: senx/(1 + cosx) = (2senu cosu)/(2cos²u).

4. senx/(1 + cosx) = tgu = tg(x/2).

Usando 1 - cosx = 2sen²u:

(1 - cosx)/senx = (2sen²u)/(2senu cosu) = tg(x/2).

tg(x/2)=senx/(1+cosx)=(1−cosx)/senx

A primeira forma exige 1 + cosx ≠ 0. A segunda exige senx ≠ 0. Fora dessas condições, volte à definição ou à outra forma válida.

Valores exatos

sen22,5°=cos67,5°=√(2−√2)/2
cos22,5°=sen67,5°=√(2+√2)/2
tg22,5°=√2−1; tg67,5°=√2+1

Por simetria, sen(−22,5°)=−√(2−√2)/2 e cos202,5°=−√(2+√2)/2.

Redução de potências

sen²x=(1−cos2x)/2
cos²x=(1+cos2x)/2
sen²x cos²x=sen²2x/4=(1−cos4x)/8

Domínios e sinais

Radicais exigem radicando não negativo; tangentes exigem cosseno do argumento não nulo. Quadrantes decidem sinais, nunca a raiz principal automaticamente.

Equações e simplificações

Use intervalos declarados, verifique domínios e teste soluções nas expressões originais.

Questões resolvidas

1. Quadrado do seno

cosx=1/2.

sen²(x/2)=(1−1/2)/2.

Resultado 1/4.

2. Escolha do sinal

x=240°.

x/2=120°, no II quadrante.

sen(x/2)=√3/2.

3. Valor exato

Calcule tg22,5°.

Use sen45°/(1+cos45°).

tg22,5°=√2−1.

4. Domínio

Analise senx/(1+cosx).

Exige 1+cosx≠0.

A forma alternativa possui domínio diferente.

5. Potências

Reduza sen²x cos²x.

É sen²2x/4.

Também vale (1−cos4x)/8.

Exercícios

Fácil

1. Se cosx=1/2, sen²(x/2)=

A) 1/2B) 1/4C) 3/4D) √3/2
Fácil

2. x=120°. cos(x/2)=

A) 1/2B) √2/2C) √3/2D) −√3/2
Médio

3. tg(x/2)=senx/(1+cosx) exige:

A) senx≠0B) 1+cosx≠0C) cosx≠0D) tgx≠0
Médio

4. sen22,5°=

A) √(2−√2)/2B) √(2+√2)/2C) √2−1D) √2+1
Médio

5. tg67,5°=

A) √2−1B) 1C) √2D) √2+1
Difícil

6. x=240°. sen(x/2)=

A) −√3/2B) −1/2C) √3/2D) 1/2
Difícil

7. Se cos4x=0, sen²x cos²x=

A) 1/4B) 1/8C) 1/2D) 0
Difícil

8. tg(x/2)=1 em [0,2π). x=

A) π/2B) πC) 3π/2D) 0

Gabarito comentado:

1-B: (1−1/2)/2=1/4.

2-C: x/2=60°, sinal positivo.

3-B: O denominador não pode zerar.

4-A: Fórmula exata.

5-D: tg67,5° é recíproca de tg22,5°.

6-C: x/2=120°, II quadrante.

7-B: (1−cos4x)/8=1/8.

8-A: x/2=π/4+kπ; no intervalo, x=π/2.

Resumo final

Fórmulas quadráticas não determinam sinais; use o quadrante e respeite o domínio de cada forma.