Dedução
De cos2u=1−2sen²u e cos2u=2cos²u−1, tome u=x/2.
Fórmulas fundamentais
cos²(x/2)=(1+cosx)/2
1−cosx=2sen²(x/2)
1+cosx=2cos²(x/2)
Extração de raízes
cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]
Determine x/2, reduza a uma volta, identifique o quadrante, escolha o sinal e simplifique.
Se x=480°, então x/2=240° está no III quadrante: sen(x/2)=−√3/2 e cos(x/2)=−1/2.
Tangente da metade
tg(x/2)=(1−cosx)/senx, senx≠0
tg²(x/2)=(1−cosx)/(1+cosx)
tg(x/2)=±√[(1−cosx)/(1+cosx)]
A raiz recebe sinal do quadrante; as formas não têm exatamente o mesmo domínio.
Valores exatos
cos22,5°=sen67,5°=√(2+√2)/2
tg22,5°=√2−1; tg67,5°=√2+1
Por simetria, sen(−22,5°)=−√(2−√2)/2 e cos202,5°=−√(2+√2)/2.
Redução de potências
cos²x=(1+cos2x)/2
sen²x cos²x=sen²2x/4=(1−cos4x)/8
Domínios e sinais
Radicais exigem radicando não negativo; tangentes exigem cosseno do argumento não nulo. Quadrantes decidem sinais, nunca a raiz principal automaticamente.
Equações e simplificações
Use intervalos declarados, verifique domínios e teste soluções nas expressões originais.
Questões resolvidas
1. Quadrado do seno
cosx=1/2.
sen²(x/2)=(1−1/2)/2.
Resultado 1/4.
2. Escolha do sinal
x=240°.
x/2=120°, no II quadrante.
sen(x/2)=√3/2.
3. Valor exato
Calcule tg22,5°.
Use sen45°/(1+cos45°).
tg22,5°=√2−1.
4. Domínio
Analise senx/(1+cosx).
Exige 1+cosx≠0.
A forma alternativa possui domínio diferente.
5. Potências
Reduza sen²x cos²x.
É sen²2x/4.
Também vale (1−cos4x)/8.
Exercícios
1. Se cosx=1/2, sen²(x/2)=
2. x=120°. cos(x/2)=
3. tg(x/2)=senx/(1+cosx) exige:
4. sen22,5°=
5. tg67,5°=
6. x=240°. sen(x/2)=
7. Se cos4x=0, sen²x cos²x=
8. tg(x/2)=1 em [0,2π). x=
Gabarito comentado:
1-B: (1−1/2)/2=1/4.
2-C: x/2=60°, sinal positivo.
3-B: O denominador não pode zerar.
4-A: Fórmula exata.
5-D: tg67,5° é recíproca de tg22,5°.
6-C: x/2=120°, II quadrante.
7-B: (1−cos4x)/8=1/8.
8-A: x/2=π/4+kπ; no intervalo, x=π/2.
Resumo final
Fórmulas quadráticas não determinam sinais; use o quadrante e respeite o domínio de cada forma.