Dedução
cos2x=cos²x−sen²x
Formas do cosseno
Tangente e domínio
Exige cosx≠0 e 1−tg²x≠0; tgx e tg2x devem estar definidas.
Quadrantes e sinais
senx sozinho não determina cosx nem sen2x. O quadrante de x escolhe o sinal ausente; o quadrante de 2x deve ser analisado separadamente. cos2x pode ser obtido pelas formas quadráticas.
Formas em função da tangente
cos2x=(1−tg²x)/(1+tg²x)
Exigem tgx definida.
Identidades inversas
1−cos2x=2sen²x
1+cos2x=2cos²x
Aplicações
(senx−cosx)²=1−sen2x
Equações, parâmetros e extremos
Resolva no intervalo dado, respeite o domínio e use −1≤sen2x≤1 para máximos e mínimos elementares.
Questões resolvidas
1. Seno duplo
senx=3/5, cosx=4/5.
sen2x=2·3/5·4/5.
sen2x=24/25.
2. Quadrante
senx=3/5 e x no II quadrante.
cosx=−4/5.
sen2x=−24/25.
3. Tangente
tgx=2.
sen2x=2tgx/(1+tg²x).
sen2x=4/5.
4. Equação
cos2x=0 em [0,π).
2x=π/2 ou 3π/2.
x=π/4 ou 3π/4.
5. Extremo
Avalie (senx+cosx)².
Vale 1+sen2x.
Fica entre 0 e 2.
Exercícios
1. senx=3/5 e cosx=4/5. sen2x:
2. senx=3/5. cos2x:
3. A fórmula de tg2x não pode ser usada em x=
4. Se tgx=2, sen2x=
5. Se sen2x=3/5, (senx+cosx)²=
6. cos2x=0 em [0,π):
7. sen2x=−1/2 e k=senx+cosx. Valores de k:
8. senx=3/5 e x no II quadrante. sen2x:
Gabarito comentado:
1-B: 2·3·4/25.
2-C: 1−2·9/25=7/25.
3-D: tgx=1 torna 1−tg²x=0.
4-A: 4/(1+4)=4/5.
5-C: 1+3/5=8/5.
6-B: 2x=π/2 ou 3π/2.
7-D: k²=1+sen2x=1/2.
8-C: No II quadrante cosx=−4/5.
Resumo final
Escolha a forma adequada, declare domínios e determine sinais pelos quadrantes.