Pular para o conteúdo da aula
EstudaMath

Arco duplo

Fórmulas para 2x

Especialize as fórmulas de adição para calcular e simplificar expressões com o dobro do arco.

Dedução a partir das fórmulas de adição

Arco duplo é o caso particular em que os dois arcos da soma são iguais: a=b=x.

Seno do arco duplo

Passo a passo da dedução

  1. Parta da fórmula do seno da soma.

    sen(a+b)=sena cosb+cosa senb

  2. Faça a=b=x.

    sen(x+x)=senx cosx+cosx senx

  3. Some os termos iguais.

    sen2x=2senx cosx
Fórmula final
sen2x=2senx cosx

Cosseno do arco duplo

Passo a passo da dedução

  1. Parta da fórmula do cosseno da soma.

    cos(a+b)=cosa cosb−sena senb

  2. Faça a=b=x.

    cos(x+x)=cosx cosx−senx senx

  3. Escreva os produtos como quadrados.

    cos2x=cos²x−sen²x
Fórmula final
cos2x=cos²x−sen²x

Formas equivalentes do cosseno

As duas formas alternativas vêm de sen²x + cos²x = 1.

Somente em cosseno: cos2x = cos²x - sen²x.

Substitua sen²x por 1 - cos²x.

cos2x = cos²x - (1 - cos²x) = 2cos²x - 1.

Somente em seno: cos2x = cos²x - sen²x.

Substitua cos²x por 1 - sen²x.

cos2x = (1 - sen²x) - sen²x = 1 - 2sen²x.

cos2x = cos²x - sen²x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sen²x

Tangente e domínio

1. tg(a + b) = (tga + tgb)/(1 - tga · tgb).

2. Faça a = b = x: tg(x + x) = (tgx + tgx)/(1 - tg²x).

3. tg2x = 2tgx/(1 - tg²x).

A dedução exige tgx definida. A fórmula também exige 1 - tg²x ≠ 0; isso corresponde aos casos em que tg2x não está definida.

Quadrantes e sinais

senx sozinho não determina cosx nem sen2x. O quadrante de x escolhe o sinal ausente; o quadrante de 2x deve ser analisado separadamente. cos2x pode ser obtido pelas formas quadráticas.

Formas em função da tangente

sen2x=2tgx/(1+tg²x)
cos2x=(1−tg²x)/(1+tg²x)

Exigem tgx definida.

Identidades inversas

senx cosx=sen2x/2
1−cos2x=2sen²x
1+cos2x=2cos²x

Aplicações

(senx+cosx)²=1+sen2x
(senx−cosx)²=1−sen2x

Equações, parâmetros e extremos

Resolva no intervalo dado, respeite o domínio e use −1≤sen2x≤1 para máximos e mínimos elementares.

Questões resolvidas

1. Seno duplo

senx=3/5, cosx=4/5.

sen2x=2·3/5·4/5.

sen2x=24/25.

2. Quadrante

senx=3/5 e x no II quadrante.

cosx=−4/5.

sen2x=−24/25.

3. Tangente

tgx=2.

sen2x=2tgx/(1+tg²x).

sen2x=4/5.

4. Equação

cos2x=0 em [0,π).

2x=π/2 ou 3π/2.

x=π/4 ou 3π/4.

5. Extremo

Avalie (senx+cosx)².

Vale 1+sen2x.

Fica entre 0 e 2.

Exercícios

Fácil

1. senx=3/5 e cosx=4/5. sen2x:

A) 12/25B) 24/25C) 7/25D) 1
Fácil

2. senx=3/5. cos2x:

A) −7/25B) 18/25C) 7/25D) 24/25
Médio

3. A fórmula de tg2x não pode ser usada em x=

A) 0°B) 30°C) 60°D) 45°
Médio

4. Se tgx=2, sen2x=

A) 4/5B) 3/5C) −3/5D) −4/5
Médio

5. Se sen2x=3/5, (senx+cosx)²=

A) 2/5B) 3/5C) 8/5D) 5/3
Difícil

6. cos2x=0 em [0,π):

A) π/4B) π/4 e 3π/4C) π/2D) 3π/4
Difícil

7. sen2x=−1/2 e k=senx+cosx. Valores de k:

A) ±√3/2B) 1/2C) ±1D) ±1/√2
Difícil

8. senx=3/5 e x no II quadrante. sen2x:

A) 24/25B) 7/25C) −24/25D) −7/25

Gabarito comentado:

1-B: 2·3·4/25.

2-C: 1−2·9/25=7/25.

3-D: tgx=1 torna 1−tg²x=0.

4-A: 4/(1+4)=4/5.

5-C: 1+3/5=8/5.

6-B: 2x=π/2 ou 3π/2.

7-D: k²=1+sen2x=1/2.

8-C: No II quadrante cosx=−4/5.

Resumo final

Escolha a forma adequada, declare domínios e determine sinais pelos quadrantes.