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Raízes da unidade

Simetria, ordem e somas cíclicas

Vá além do polígono regular: identifique raízes primitivas, calcule ordens e use somas geométricas e fatorações.

Raízes n-ésimas da unidade

Para n∈ℕ*, as soluções de zn=1 são

ζk=cis(2kπ/n),   k=0,1,…,n−1

Elas são distintas, têm módulo 1 e formam um n-gono regular centrado na origem, com um vértice em 1.

Fixando ζ=cis(2π/n), todas as raízes são 1,ζ,ζ²,…,ζn−1, e ζn=1.

Ordem e raízes primitivas

A ordem de uma raiz u é o menor inteiro d>0 tal que ud=1. Para u=cis(2kπ/n),

ord(u)=n/mdc(n,k)

Uma raiz n-ésima é primitiva quando sua ordem é n, equivalendo a mdc(k,n)=1. Há φ(n) raízes primitivas, onde φ é a função totiente de Euler.

Uma raiz primitiva gera todas as n raízes por potências sucessivas.

Soma das raízes e filtro de potências

Para n>1, a soma de todas as raízes n-ésimas da unidade é 0. Mais geralmente, se ζ=cis(2π/n) e m∈ℤ, então

Σk=0n−1 ζkm = n, se n divide m; e 0, caso contrário

Quando ζm≠1, a soma é uma progressão geométrica de razão ζm e numerador 1−(ζm)n=0. Quando ζm=1, todos os n termos valem 1.

Produto, conjugação e simetrias

Por Viète aplicado a zn−1, o produto de todas as raízes é

∏k=0n−1 ζk=(−1)n+1

O conjugado e o inverso de uma raiz coincidem: ζ̄k=ζk−1=ζn−k, com os índices interpretados módulo n (em particular, ζn=ζ0). As raízes não reais aparecem em pares conjugados.

Se n é par, −1 também é raiz; se n é ímpar, a única raiz real é 1.

Fatorações e equações geométricas

Sobre ℂ, vale

zn−1=∏k=0n−1(z−ζk)

Para z≠1, 1+z+⋯+zn−1=(zn−1)/(z−1). Portanto, as soluções de 1+z+⋯+zn−1=0 são todas as raízes n-ésimas da unidade, exceto 1.

As raízes primitivas são reunidas pelos polinômios ciclotômicos; esse ponto é útil em fatorações de nível avançado.

Pegadinhas e condições

  • Nem toda raiz n-ésima da unidade é primitiva; é preciso verificar mdc(k,n)=1.
  • A soma de todas as raízes é 0 somente quando n>1.
  • No filtro Σζkm, o resultado é n quando n divide m, não apenas quando m=0.
  • O produto de todas as raízes é (−1)n+1; ele depende da paridade de n.
  • Ao transformar uma soma geométrica em quociente, trate z=1 separadamente.

Questões resolvidas

1. Raízes cúbicas e fatoração

Determine as raízes cúbicas da unidade e fatore z³−1 em ℂ.

Os argumentos são 0, 2π/3 e 4π/3.

As raízes são 1, −1/2+√3i/2 e −1/2−√3i/2.

Fatoração: z³−1=(z−1)(z+1/2−√3i/2)(z+1/2+√3i/2).

2. Raízes primitivas de ordem 12

Quais são as raízes primitivas 12-ésimas da unidade?

ζk=cis(2kπ/12) é primitiva quando mdc(k,12)=1.

Entre 0 e 11, isso ocorre para k=1,5,7,11.

Resposta: cis(π/6), cis(5π/6), cis(7π/6) e cis(11π/6). Há φ(12)=4 delas.

3. Filtro de raízes da unidade

Se ζ=cis(2π/7), calcule S=Σk=06ζ3k.

A razão da progressão é ζ³. Como 7 não divide 3, ζ³≠1.

Além disso, (ζ³)⁷=(ζ⁷)³=1. Logo, S=(1−(ζ³)⁷)/(1−ζ³)=0.

Resposta: S=0.

4. Produto das raízes não reais

Calcule o produto das raízes sextas da unidade que não são reais.

O produto das seis raízes é (−1)7=−1.

As raízes reais são 1 e −1, cujo produto também é −1.

Resposta: o produto das quatro raízes não reais é (−1)/(−1)=1.

5. Equação de soma geométrica

Resolva 1+z+z²+⋯+z⁸=0.

Em z=1, a soma vale 9, então z=1 não é solução.

Para z≠1, a soma é (z⁹−1)/(z−1). Portanto, precisamos de z⁹=1 com z≠1.

Resposta: z=cis(2kπ/9), k=1,2,…,8.

Exercícios

Resolva sem olhar o gabarito. A distribuição é de 2 questões fáceis, 3 médias e 3 difíceis.

Fácil

1. A equação z⁷=1 possui quantas raízes complexas distintas?

A) 1 B) 6 C) 7 D) 14
Fácil

2. As quartas raízes da unidade são:

A) {1,−1} B) {1,i,−1,−i} C) {1,i} D) {1,−1,i}
Médio

3. Quantas raízes primitivas oitavas da unidade existem?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 8
Médio

4. A soma de todas as décimas raízes da unidade é:

A) −1 B) 0 C) 1 D) 10
Médio

5. O produto de todas as quintas raízes da unidade é:

A) −1 B) 0 C) 1 D) 5
Difícil

6. Se ζ=cis(2π/6), então Σk=05ζ4k vale:

A) −1 B) 0 C) 1 D) 6
Difícil

7. A equação 1+z+z²+z³+z⁴+z⁵=0 possui quantas soluções complexas distintas?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
Difícil

8. Considerado como raiz 15-ésima da unidade, u=cis(6π/15) tem ordem:

A) 3 B) 5 C) 10 D) 15

Gabarito comentado:

1-C. As raízes sétimas da unidade são sete pontos distintos.

2-B. Os argumentos 0, π/2, π e 3π/2 produzem 1,i,−1,−i.

3-C. Há φ(8)=4: os índices 1,3,5 e 7 são coprimos com 8.

4-B. Para n=10>1, o coeficiente de z⁹ em z¹⁰−1 é zero; a soma das raízes é 0.

5-C. O produto é (−1)5+1=1.

6-B. Como 6 não divide 4, o filtro de raízes da unidade fornece soma 0.

7-B. As soluções são as sextas raízes da unidade diferentes de 1; portanto, há 5.

8-B. u=cis(2π·3/15), então ord(u)=15/mdc(15,3)=5.

Resumo final

  • As raízes n-ésimas da unidade são ζk=cis(2kπ/n), k=0,…,n−1.
  • A ordem de cis(2kπ/n) é n/mdc(n,k); ela é primitiva quando mdc(n,k)=1.
  • Para n>1, a soma de todas as raízes é 0 e o produto é (−1)n+1.
  • Para m∈ℤ, o filtro Σζkm vale n se n divide m e 0 caso contrário.
  • A fatoração de zn−1 e a soma geométrica transformam muitas equações em problemas de raízes da unidade.