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Triângulos

Módulo 3 de 4 · Cevianas

Cevianas e pontos notáveis: mediana e baricentro, bissetrizes e incentro, alturas e ortocentro, mediatrizes e circuncentro.

Ceviana: a ideia central

Escolha um vértice do triângulo. O lado que fica em frente a ele é o lado oposto. Qualquer segmento que saia desse vértice e termine em um ponto do lado oposto é uma ceviana.

Exemplo: no triângulo ABC, o ponto D está no lado BC. Por isso, o segmento AD é uma ceviana relativa ao lado BC.

Uma ceviana no triângulo ABCO segmento AD parte do vértice A e chega ao ponto D do lado oposto BC.ABCDceviana AD
A ceviana precisa começar no vértice e terminar no lado oposto. O ponto D pode ocupar diferentes posições em BC.

Mediana

Definição: mediana de um triângulo é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.

Em linguagem simples: primeiro encontramos o meio do lado que está em frente ao vértice; depois ligamos esse meio ao vértice. AM é a mediana relativa ao lado BC e também relativa ao vértice A.

Como reconhecer: se M é ponto médio de BC, então BM = MC. As duas marcas iguais desenhadas sobre BC registram essa igualdade.

Mediana AMAM liga o vértice A ao ponto médio M do lado BC, com BM e MC de mesma medida.ABCMmediana AM
AM é mediana porque chega exatamente ao meio de BC. O desenho não afirma que AM forme 90° nem que divida o ângulo A ao meio.

As três medianas e o baricentro

Teorema das medianas: as três medianas de um triângulo encontram-se em um mesmo ponto. Esse ponto divide cada mediana em duas partes, e a parte situada entre o vértice e o ponto de encontro mede o dobro da outra.

Definição: o ponto de encontro das três medianas é o baricentro do triângulo, representado por G.

O baricentro não fica no meio da mediana. Ele divide cada mediana na razão 2 para 1: o trecho que vai do vértice até G mede o dobro do trecho que vai de G ao ponto médio.

Na mediana AM:AG = 2·GMAG = (2/3)·AMGM = (1/3)·AM
As três medianas encontram o baricentro GCada vértice está ligado ao ponto médio do lado oposto e as três medianas encontram-se em G.ABCM₁M₂M₃G
As três linhas verdes são medianas. G é o ponto comum às três e sempre fica no interior do triângulo.

Bissetriz interna

Definição: bissetriz interna de um triângulo é o segmento que tem uma extremidade no vértice e a outra no lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes.

Em linguagem simples: a bissetriz parte a abertura do ângulo exatamente ao meio. AD é a bissetriz relativa ao lado BC e também relativa ao vértice A.

Como reconhecer: as duas curvas iguais junto ao vértice indicam que BÂD = DÂC. Isso não significa, em geral, que BD = DC.

Bissetriz interna ADAD parte de A e divide o ângulo BAC em dois ângulos iguais.ABCDbissetriz AD
A igualdade está nos ângulos do vértice A. A bissetriz não precisa chegar ao ponto médio do lado BC.

As três bissetrizes internas e o incentro

Teorema: as três bissetrizes internas encontram-se num único ponto, que está à mesma distância dos três lados.

Definição: o ponto de encontro das três bissetrizes internas é o incentro do triângulo, representado por I.

O incentro está à mesma distância dos três lados. Aqui, distância até um lado significa o comprimento do segmento perpendicular que vai de I até a reta desse lado.

Consequência: como as três distâncias são iguais, podemos desenhar uma circunferência de centro I tangente aos três lados. Ela é a circunferência inscrita.

As três bissetrizes internas encontram o incentro IAs bissetrizes partem dos três vértices, encontram-se em I e uma circunferência centrada em I toca os três lados.ABCI
I é o encontro das bissetrizes internas. A circunferência laranja representa a ideia de mesma distância aos lados.

Altura

Definição: altura de um triângulo é o segmento perpendicular à reta suporte de um lado, com uma extremidade nessa reta e a outra no vértice oposto.

Em linguagem simples: prolongamos o lado, se necessário, e traçamos do vértice uma linha que encontre essa reta formando 90°. AH é a altura relativa ao lado BC e ao vértice A; H é o pé da altura.

Num triângulo acutângulo, H fica no próprio lado BC. Num triângulo obtusângulo, pode ser necessário prolongar BC: a altura continua partindo do vértice, mas parte do segmento desenhado fica fora do triângulo.

Altura interna e altura externaÀ esquerda, AH encontra o lado BC em H. À direita, AH encontra o prolongamento de BC fora do triângulo.ABCHpé no lado BCABCHpé no prolongamento
O quadrado marca 90°. O livro usa as retas suportes das alturas para tratar o encontro das três alturas no ortocentro.

As três alturas e o ortocentro

Teorema: as três retas suportes das alturas de um triângulo encontram-se num único ponto.

Definição: o ponto de encontro das retas suportes das três alturas é o ortocentro do triângulo, representado por H.

É importante falar em retas que contêm as alturas porque, num triângulo obtusângulo, duas delas precisam ser prolongadas para que o encontro apareça fora do triângulo.

Posição de H: fica dentro do triângulo acutângulo, no vértice do ângulo reto no triângulo retângulo e fora do triângulo obtusângulo.

As três alturas encontram o ortocentro HEm um triângulo acutângulo, três retas perpendiculares aos lados opostos encontram-se em H.ABCH
Os pequenos quadrados indicam perpendicularidade. H é o único ponto comum às três retas das alturas.

Mediatriz: uma construção diferente

Definição: mediatriz de um segmento é a reta perpendicular a esse segmento traçada pelo seu ponto médio.

Em linguagem simples: em BC, primeiro marcamos M de modo que BM = MC; depois traçamos por M uma reta que forme 90° com BC. Como essa reta não precisa começar num vértice, mediatriz não é ceviana.

Propriedade importante: qualquer ponto da mediatriz está à mesma distância de B e de C. É por isso que as três mediatrizes encontram o circuncentro, ponto equidistante dos três vértices.

Mediatriz do lado BCA mediatriz passa pelo ponto médio M de BC e forma ângulo reto com o lado.ABCMmediatriz de BC
Para identificar uma mediatriz, procure as duas informações ao mesmo tempo: M divide BC ao meio e a reta forma 90° com BC.

As três mediatrizes e o circuncentro

Teorema: as mediatrizes dos três lados encontram-se num único ponto, que está à mesma distância dos três vértices.

Definição: o ponto de encontro das mediatrizes dos lados é o circuncentro do triângulo, representado por O.

Todo ponto de uma mediatriz está à mesma distância das extremidades do lado. Como O pertence às três mediatrizes, ele está à mesma distância dos três vértices: OA = OB = OC.

Consequência: O é o centro da circunferência que passa por A, B e C, chamada circunferência circunscrita.

As três mediatrizes encontram o circuncentro OTrês mediatrizes tracejadas encontram-se em O, que está ligado aos três vértices por segmentos de mesma medida.ABCOOA = OB = OC
As linhas tracejadas são mediatrizes. Os segmentos que ligam O aos vértices representam três raios iguais.

Como não confundir

Para reconhecer cada construção, observe duas coisas: onde ela passa e qual condição obrigatória deve cumprir.

ConstruçãoDe onde vemComo reconhecer
MedianaLiga um vértice ao lado oposto.Termina exatamente no ponto médio desse lado, dividindo-o em duas partes iguais.
Bissetriz internaLiga um vértice ao lado oposto.Divide o ângulo do vértice em dois ângulos de mesma medida.
AlturaSai de um vértice em direção à reta do lado oposto.Encontra essa reta formando 90°. O encontro pode ocorrer no próprio lado ou em seu prolongamento.
MediatrizÉ uma reta que passa pelo ponto médio de um lado.Forma 90° com esse lado. Não sai necessariamente de um vértice e, por isso, não é ceviana.

O que veremos depois: as três medianas encontram-se no baricentro; as três bissetrizes internas, no incentro; as retas das três alturas, no ortocentro; e as três mediatrizes, no circuncentro.