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Teorema de Tales

Módulo 2 de 4 · Teorema de Tales

Enunciado, demonstração completa e leitura correta. A organização segue do significado geométrico para a aplicação, sem depender da aparência do desenho.

1. Teorema de Tales

Antes de escrever uma proporção, precisamos saber quais pontos e quais segmentos ocupam a mesma posição nas duas transversais.

Enunciado

Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.

Primeiro: quem corresponde a quem?

A e A′, B e B′, C e C′, D e D′ são pontos correspondentes. Cada par está sobre a mesma reta paralela do feixe.

AB e A′B′, CD e C′D′ são segmentos correspondentes. Cada par fica limitado pelas mesmas duas paralelas.

Feixe de retas paralelas cortado por duas transversaisQuatro retas horizontais paralelas, reunidas por um colchete, são cortadas pelas transversais t e u. Os pares A e A linha, B e B linha, C e C linha, D e D linha são correspondentes.transversal ttransversal uABCDA′B′C′D′r₁r₂r₃r₄feixe de retasparalelas
O colchete reúne r₁, r₂, r₃ e r₄ no mesmo feixe. As retas verdes t e u são transversais porque cortam todas as retas do feixe.
  1. A e A′ estão na primeira paralela; B e B′, na segunda.
  2. Por isso, AB e A′B′ ocupam a mesma faixa do feixe.
  3. C e C′ estão na terceira paralela; D e D′, na quarta.
  4. Por isso, CD e C′D′ ocupam outra mesma faixa do feixe.
Importante: segmentos correspondentes não precisam ter o mesmo comprimento. A palavra “correspondentes” indica apenas que eles ficam entre o mesmo par de paralelas.

Depois: o que o teorema afirma?

Na transversal t, comparamos AB com CD. Na transversal u, repetimos exatamente a mesma ordem: A′B′ com C′D′.

ABCD = A′B′C′D′

Em palavras: a relação entre AB e CD é igual à relação entre seus correspondentes A′B′ e C′D′.

Outra forma de comparar: podemos relacionar AB diretamente com A′B′ e, na mesma ordem, CD com C′D′. A igualdade também permanece verdadeira.

2. Como montar as razões sem trocar a ordem

Não comece pela fórmula. Primeiro leia os segmentos em voz baixa e localize seus correspondentes.

  1. Escolha dois segmentos da primeira transversal: AB e CD.
  2. Localize o correspondente de AB: é A′B′.
  3. Localize o correspondente de CD: é C′D′.
  4. Repita na segunda transversal a mesma ordem usada na primeira.
Primeira comparaçãoAB está para CD.
Comparação correspondenteA′B′ está para C′D′.
ABCD = A′B′C′D′
Teste rápido: o numerador AB corresponde ao numerador A′B′; o denominador CD corresponde ao denominador C′D′. Se isso não acontecer, a proporção foi montada fora de ordem.

3. Demonstração do Teorema de Tales

Vamos provar por que a proporção funciona. O livro separa a demonstração em dois casos: quando existe uma unidade comum exata e quando essa unidade comum não existe.

1º caso: segmentos comensuráveis

Comensuráveis quer dizer que conseguimos escolher um pequeno segmento x que cabe um número inteiro de vezes tanto em AB quanto em CD. É como usar uma régua cuja unidade mede exatamente os dois segmentos, sem deixar sobra.

Passo 1 - escolher e contar a unidade comum

Suponha que x caiba p vezes em AB e q vezes em CD. Então AB é formado por p cópias de x, enquanto CD é formado por q cópias de x.

AB = p·x    e    CD = q·x

Passo 2 - obter a razão na primeira transversal

Ao dividir AB por CD, a mesma unidade x aparece em cima e embaixo e pode ser simplificada.

ABCD = p·xq·x = pq

Passo 3 - levar as divisões até a segunda transversal

Pelos pontos que dividem AB e CD, traçamos novas paralelas ao feixe. Essas paralelas auxiliares também cortam a transversal u.

Elas dividem A′B′ em p partes iguais de medida x′ e C′D′ em q partes iguais da mesma medida x′. A quantidade de partes é preservada porque as divisões são produzidas pelas mesmas paralelas.

Unidade comum representada no feixe de paralelasQuatro paralelas principais e três paralelas auxiliares cortam duas transversais contínuas. AB fica dividido em três partes, CD em duas, A linha B linha em três e C linha D linha em duas.transversal ttransversal uABCDA′B′C′D′xxxxxx′x′x′x′x′AB: 3 partes xCD: 2 partes xA′B′: 3 partes x′C′D′: 2 partes x′As linhas tracejadas também pertencem ao feixe de paralelas.
Agora os quatro segmentos permanecem na configuração de Tales. As paralelas auxiliares que dividem AB e CD também cortam a segunda transversal; por isso, preservam as mesmas contagens nos segmentos correspondentes.

Passo 4 - obter a razão na segunda transversal

A′B′ = p·x′    e    C′D′ = q·x′

Dividindo um pelo outro, x′ também é simplificado:

A′B′C′D′ = p·x′q·x′ = pq

Passo 5 - comparar os dois resultados

A primeira razão e a segunda razão resultam no mesmo número. Portanto, elas são iguais entre si.

Primeiro caso concluídoABCD = A′B′C′D′
Não confunda: não estamos afirmando que x = x′. A unidade da primeira transversal pode ter medida diferente da unidade da segunda. O que se conserva é a quantidade p ou q de partes correspondentes.

2º caso: segmentos incomensuráveis

Incomensuráveis quer dizer que nenhuma unidade mede AB e CD exatamente um número inteiro de vezes. Nesse caso, aproximamos AB por unidades cada vez menores.

Passo 1 - dividir CD exatamente

Escolha uma unidade y que caiba n vezes em CD. Assim, CD = n·y.

Passo 2 - aproximar AB com a mesma unidade

Suponha que y caiba m vezes em AB e que ainda sobre um pedaço menor que y. Então AB é maior que m·y, mas menor que (m+1)·y.

m·y < AB < (m+1)·y

Passo 3 - transformar os comprimentos em limites para a razão

Como CD = n·y, dividimos os três membros por n·y:

mn < ABCD < m+1n

Passo 4 - repetir a construção na outra transversal

As mesmas paralelas produzem n partes de medida y′ em C′D′. Em A′B′ cabem m dessas partes e sobra menos de uma. Por isso, a razão correspondente fica entre os mesmos limites.

mn < A′B′C′D′ < m+1n

Passo 5 - tornar a aproximação cada vez mais precisa

Escolhendo y cada vez menor, o número n aumenta. A distância entre o limite inferior e o limite superior é cada vez menor. As duas razões permanecem presas entre os mesmos limites, que se aproximam até determinar um único número.

Segundo caso concluídoABCD = A′B′C′D′
Ideia central: no primeiro caso contamos partes exatas. No segundo, usamos partes cada vez menores. Nos dois casos, o mesmo feixe preserva a correspondência das divisões.

4. Exemplo guiado

Em duas transversais, AB corresponde a A′B′ e BC corresponde a B′C′. Se AB = 4, BC = 6 e A′B′ = 10, encontre B′C′.

ABBC = A′B′B′C′  ⇒  46 = 10x

Multiplicando em cruz: 4x = 60. Logo, x = 15.

Verificação: 4/6 e 10/15 simplificam para 2/3. A ordem foi mantida.