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Teorema de Tales

Módulo 3 de 4 · Bissetrizes

Teoremas da bissetriz interna e externa. A organização segue do significado geométrico para a aplicação, sem depender da aparência do desenho.

1. Teorema da bissetriz interna

A bissetriz interna parte do vértice, divide o ângulo ao meio e encontra o lado oposto dentro do próprio segmento.

Enunciado

Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos aditivos proporcionais aos lados adjacentes.

Letras da figuraAD é a bissetriz; x = DB, y = DC, c = AB e b = AC.
O que “aditivos” significaD está entre B e C. Portanto, as duas partes formam o lado inteiro: DB + DC = BC, ou x + y = a.
xc = yb    ou, de forma equivalente,    BDDC = ABAC

Para manter a correspondência, leia pelos lados do triângulo: o segmento junto de B, BD, acompanha AB; o segmento junto de C, DC, acompanha AC.

Construção usada na demonstração

Demonstração do teorema da bissetriz internaNo triângulo ABC, AD é a bissetriz interna. A reta AB é prolongada até E e CE é paralela a AD. As marcas mostram os pares de ângulos iguais e que AE é igual a AC.ABCDEADCEAD ∥ CE1234x = DBy = DCc = ABb = AC
A reta tracejada prolonga AB até E. A linha CE foi traçada paralela a AD. As curvas numeradas acompanham exatamente os ângulos usados na demonstração; os traços nos lados mostram AE = AC.
  1. Prolongamos a reta AB além de A até obter o ponto E.
  2. Ligamos E a C de modo que CE seja paralela à bissetriz AD.
  3. Como CE ∥ AD, o ângulo 1 é igual ao ângulo 3, pois são correspondentes; o ângulo 2 é igual ao ângulo 4, pois são alternos internos.
  4. Como AD é bissetriz, os ângulos 1 e 2 são iguais. Logo, os ângulos 3 e 4 também são iguais.
  5. No triângulo ACE, ângulos iguais ficam opostos a lados iguais. Portanto, AE = AC.
  6. Agora BC e BE funcionam como transversais das paralelas AD e CE. Pelo Teorema de Tales, BDDC = ABAE.
  7. Como AE = AC, substituímos AE por AC e obtemos a proporção final.
Conclusão demonstradaBDDC = ABAC

2. Teorema da bissetriz externa

A bissetriz externa divide ao meio um ângulo de fora do triângulo e encontra a reta do lado oposto fora do segmento BC.

Enunciado

Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo encontra a reta que contém o lado oposto, então ela divide esse lado externamente em segmentos subtrativos proporcionais aos lados adjacentes.

Letras da figuraAD é a bissetriz externa; D está depois de C; x = DB, y = DC, c = AB e b = AC.
O que “subtrativos” significaDB contém todo o lado BC e ainda o trecho CD. Para recuperar BC, retiramos a parte excedente: DB − DC = BC, ou x − y = a.
xc = yb    ou, de forma equivalente,    BDDC = ABAC

Construção usada na demonstração

Demonstração do teorema da bissetriz externaNo triângulo ABC, a bissetriz externa AD encontra o prolongamento de BC em D. A reta AB é prolongada até F e CE é paralela a AD, encontrando AB em E.ABCDEFADCEAD ∥ CE2134BC = ay = DCc = ABb = ACx = DB é o segmento completo, de D até B
O lado BC foi prolongado até D; por isso a divisão é externa. A linha CE, paralela a AD, torna visíveis os ângulos usados na prova. Os traços mostram AE = AC.
  1. Prolongamos AB além de A até F para tornar visível o ângulo externo.
  2. Por C, traçamos CE paralela à bissetriz externa AD; E fica sobre AB.
  3. As paralelas AD e CE fazem o ângulo 2 corresponder ao ângulo 3 e o ângulo 1 ser alterno interno ao ângulo 4.
  4. Como AD divide o ângulo externo ao meio, os ângulos 1 e 2 são iguais. Logo, os ângulos 3 e 4 também são iguais.
  5. Assim, o triângulo ACE é isósceles e AE = AC.
  6. Aplicando Tales às paralelas AD e CE, obtemos BDDC = ABAE.
  7. Substituindo AE por AC, chegamos à proporção final. A relação DB − DC = BC vem da ordem B—C—D.
Conclusão demonstradaBDDC = ABAC

3. Caso especial no triângulo isósceles

Se AB = AC, a bissetriz do ângulo externo em A é paralela à base BC. A recíproca também é verdadeira: se essa bissetriz externa é paralela a BC, então AB = AC e o triângulo é isósceles de base BC.

AB = AC  ⇔  bissetriz externa em A ∥ BC

O símbolo ⇔ deve ser lido como “se, e somente se”. Ele indica que a afirmação funciona nos dois sentidos.

4. Exemplos guiados

Bissetriz interna

Se AB = 12, AC = 8 e BC = 15, usamos BDDC = 128 = 32. A razão 3 : 2 possui cinco partes ao todo. Dividindo 15 em cinco partes, cada parte mede 3; assim, BD = 9 e DC = 6.

Bissetriz externa

Se ABAC = 53 e BD − DC = 12, escrevemos BD = 5k e DC = 3k. A diferença é 2k = 12, então k = 6. Portanto, BD = 30 e DC = 18.