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Polígonos

Módulo 2 de 4 · Forma e regiões

Polígonos simples, convexidade, interior e exterior. A sequência começa pela leitura da figura e chega às demonstrações e aplicações.

1. Polígono simples e polígono complexo

Observe o contorno antes de estudar sua região. A pergunta é direta: algum lado cruza outro lado que não é seu vizinho?

Polígono simplesLados não consecutivos não se encontram. O contorno pode ser percorrido sem passar por um cruzamento.
Polígono complexoDois lados não consecutivos se cruzam. Esse encontro aparece no meio dos lados e não era um vértice da sequência original.
Polígono simples e polígono complexoÀ esquerda, um pentágono sem cruzamento; à direita, um polígono cujos lados não consecutivos se cruzam.simpleso contorno não se cruzacruzamentocomplexolados não consecutivos se encontram
O cruzamento destacado não é um vértice escolhido na sequência; ele surge porque dois lados não consecutivos se interceptam.

2. Polígono convexo e polígono côncavo

Agora consideramos polígonos simples e analisamos para que lado do contorno fica a figura.

Convexo

Para cada lado, todo o polígono fica em um único semiplano determinado pela reta que contém esse lado.

Côncavo

Existe pelo menos um lado cuja reta deixa partes do polígono em semiplanos opostos.

Teste visual equivalente: escolha quaisquer dois pontos internos. Se o segmento que os une sempre permanecer dentro da superfície, o polígono é convexo. Para mostrar que é côncavo, basta um contraexemplo.

Comparação entre polígono convexo e côncavoNo convexo, o segmento que liga dois pontos internos permanece dentro. No côncavo, parte do segmento sai da região.convexoo segmento permanece dentrotrecho foracôncavoum contraexemplo já é suficiente
Para negar a convexidade, basta encontrar dois pontos internos cujo segmento não fique inteiro na região.

3. Interior, fronteira e exterior

Um polígono simples separa o plano em partes com papéis diferentes.

InteriorÉ a região que fica dentro do contorno, sem incluir os lados nem os vértices.
FronteiraÉ o próprio contorno: todos os lados e todos os vértices.
ExteriorÉ a parte do plano que fica fora do contorno.
Interior, fronteira e exterior de um polígonoPentágono preenchido com um ponto P interno, Q sobre o contorno e R externo.P: interiorQ: fronteiraR: exteriorlados e vértices formam a fronteira
P está dentro sem tocar os lados; Q está sobre um lado; R está fora. A região preenchida junto com o contorno é a superfície poligonal.

4. Superfície poligonal

A superfície poligonal reúne o interior e a fronteira. Em linguagem cotidiana, é a figura “preenchida”, incluindo sua borda.

superfície poligonal = interior ∪ fronteira

O símbolo ∪ significa reunião. Um ponto sobre um lado pertence à superfície, mas não pertence ao interior.