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Polígonos

Módulo 3 de 4 · Diagonais e ângulos

Contagem de diagonais e somas angulares demonstradas. A sequência começa pela leitura da figura e chega às demonstrações e aplicações.

1. Diagonais

Diagonal

É o segmento que une dois vértices não consecutivos de um polígono.

Diagonais que partem de um vértice de um hexágonoNo hexágono ABCDEF, partem de A as diagonais AC, AD e AE.ABCDEFACADAE
A não se liga por diagonal a si mesmo nem aos vizinhos B e F. Restam C, D e E: por isso saem n − 3 diagonais de cada vértice.

Quantas diagonais possui um n-látero?

De cada vértice saem diagonais para todos os vértices, exceto ele mesmo e seus dois vizinhos. Portanto, saem n − 3.
Repetindo a contagem nos n vértices, obtemos n(n − 3).
Cada diagonal foi contada duas vezes, uma por cada extremidade. Por isso dividimos por 2.
d = n(n − 3)2

Exemplo: um octógono tem d = 8·5/2 = 20 diagonais.

2. Soma dos ângulos internos

Em vez de decorar a fórmula, vamos enxergar de onde ela nasce.

Pentágono dividido em três triângulosDuas diagonais partem do vértice A e dividem o pentágono ABCDE em três triângulos.ABCDE123
No pentágono, as diagonais que partem de A formam 3 triângulos. Em um n-látero, a mesma construção forma n − 2 triângulos.
Escolha um vértice de um polígono convexo.
Trace todas as diagonais possíveis a partir desse vértice.
A figura é dividida em n − 2 triângulos.
Cada triângulo possui soma interna de 180°. Multiplicamos.
Si = (n − 2) · 180°

Exemplo: no hexágono, Si = (6 − 2)·180° = 720°.

3. Ângulos externos

Ângulo externo adjacente

Em um vértice, prolongamos um lado. O ângulo formado pelo prolongamento e pelo lado seguinte é externo e suplementar ao ângulo interno desse vértice.

ai + ae = 180°
Ângulos externos consecutivos de um pentágonoOs lados de um pentágono convexo são prolongados e um ângulo externo é marcado em cada vértice, todos no mesmo sentido de percurso.e₁e₂e₃e₄e₅
Escolhemos um ângulo externo em cada vértice e mantemos o mesmo sentido de giro. Juntos, esses giros completam uma volta: 360°.

Por que a soma é 360°?

Ao percorrer o contorno de um polígono convexo, cada ângulo externo mede a mudança de direção feita no vértice. Depois de dar a volta inteira e retornar à direção inicial, o giro total é uma volta completa.

Se = 360°

Essa soma não depende da quantidade de lados, desde que escolhamos um ângulo externo por vértice e todos no mesmo sentido.

4. Consequências para um polígono regular

Como todos os ângulos internos de um polígono regular são congruentes, dividimos a soma interna por n. O mesmo vale para os externos.

Ângulo internoai = (n − 2)·180°/n
Ângulo externoae = 360°/n
Par adjacenteai + ae = 180°

Exemplo: no pentágono regular, ai = 540°/5 = 108° e ae = 360°/5 = 72°.

Construções, apótemas e outras propriedades avançadas ficam na aula específica de polígonos regulares.