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Perpendicularismo

Ângulo reto, distância e mediatriz

Trate perpendicularidade como condição geométrica, não como aparência do desenho.

Ângulo reto e retas perpendiculares

Retas concorrentes são perpendiculares quando formam ângulo reto. Duas retas distintas e coplanares, perpendiculares a uma mesma reta, são paralelas.

Projeção ortogonal e distância

O pé H da perpendicular de P a r é sua projeção ortogonal. A distância de P a r é PH. Entre todos os segmentos de P até pontos de r, PH é o menor.

Projeção ortogonal e mediatriz de um segmento À esquerda, PH é perpendicular à reta r no ponto H. À direita, a reta m é perpendicular ao segmento AB em seu ponto médio M; marcas iguais indicam AM igual a MB. projeção ortogonal mediatriz P H r PH A M B m AM = MB
PH mede a distância de P a r. A reta m é mediatriz de AB porque passa por M, satisfaz AM=MB e é perpendicular a AB. Figura ilustrativa, sem escala.
Paralelismo obtido por perpendicularidade comum As retas distintas e coplanares r e s são perpendiculares à mesma reta t. Quadrados marcam os ângulos retos e marcas iguais indicam que r e s são paralelas. r e s distintas e coplanares r s t r ⟂ t s ⟂ t logo, r ∥ s
Duas retas distintas e coplanares, perpendiculares à mesma reta, são paralelas entre si. Figura ilustrativa, sem escala.

Distância entre paralelas

A distância entre duas retas paralelas é o comprimento de qualquer segmento perpendicular comum. Ela é constante; segmentos oblíquos são maiores.

Mediatriz: direto e recíproco

A mediatriz de AB é perpendicular a AB em seu ponto médio. P pertence à mediatriz se, e somente se, PA=PB.

Construção da mediatriz

Trace arcos com centros A e B, mesmo raio e raio maior que AB/2, garantindo duas interseções. A reta pelas interseções é a mediatriz.

Pegadinhas

  • Omitir “distintas e coplanares” no critério de paralelas.
  • Usar segmento oblíquo como distância.
  • Confundir mediatriz e mediana.
  • Afirmar r∥s quando r e s podem coincidir.
  • Usar arcos de raio insuficiente na construção.

Questões resolvidas

1. Paralelas rigorosas

No mesmo plano, r e s são distintas, r⊥t e s⊥t.

Ambas formam ângulo reto com t.

Pelo critério, r∥s.

2. Mediatriz

P está na mediatriz de AB; PA=4x−3, PB=2x+9.

4x−3=2x+9.

x=6 e PA=PB=21.

3. Projeção

PH⊥r, PH=8 e PQ=10 para Q∈r.

PH é a distância de P a r.

PQ é oblíquo e maior; os dados são compatíveis.

Exercícios

Fácil

1. A distância de P a r é medida pelo segmento:

A) paraleloB) perpendicularC) mais longoD) qualquer
Médio

2. P pertence à mediatriz de AB; PA=3x+2 e PB=5x−10. x=

A) 4B) 6C) 8D) 10
Médio

3. No diagrama, PH⊥r e PQ é oblíquo. Se PH=5, então PQ pode valer:

A) 3B) 4C) 5 somenteD) 7
Difícil

4. No mesmo plano, duas retas distintas r e s satisfazem r⊥t e s⊥t. Logo:

A) r=sB) r∥sC) r⊥sD) r e s são reversas
Difícil

5. P está na mediatriz de AB e sua projeção sobre AB é M. Se AB=18 e PM=12, então PA=

A) 12B) 15C) 18D) 30

Gabarito comentado:

1-B: A perpendicular realiza a menor distância.

2-B: 3x+2=5x−10, x=6.

3-D: O oblíquo é maior que a distância mínima 5.

4-B: As hipóteses de distinção e coplanaridade tornam a conclusão rigorosa.

5-B: AM=9 e △PMA é retângulo: PA=√(9²+12²)=15.

Resumo final

  • Perpendiculares formam ângulos retos.
  • O critério de paralelas exige retas distintas e coplanares.
  • A perpendicular fornece a menor distância.
  • Mediatriz caracteriza equidistância dos extremos.
  • Arcos de construção precisam de mesmo raio maior que AB/2.