Definição, equivalência e notação
Lugar geométrico é o conjunto de todos e somente os pontos de um espaço que satisfazem determinada condição. Se L é o lugar associado à condição C, então P∈L ⇔ P satisfaz C.
Todo ponto que satisfaz C deve estar em L: C é condição suficiente para pertencer a L.
Todo ponto de L deve satisfazer C: C é condição necessária para pertencer a L.
P∈L ⇒ C. Sem C, o ponto não pode pertencer ao lugar.
P∈L ⇔ C. As duas implicações caracterizam exatamente o conjunto.
Distância e comprimento
PA pode indicar o segmento de extremos P e A; |PA| indica seu comprimento. A distância d(P,r) entre o ponto P e a reta r é o comprimento do segmento perpendicular traçado de P até r — nunca uma distância oblíqua.
Como provar um lugar geométrico
- Prova direta: suponha P∈L e demonstre que P satisfaz C.
- Prova recíproca: suponha que P satisfaz C e demonstre que P∈L.
- Conclusão: somente depois das duas direções escreva P∈L ⇔ C.
Mostrar que todo ponto da mediatriz equidista de A e B prova apenas uma direção. Ainda é necessário demonstrar que todo ponto equidistante de A e B pertence à mediatriz.
Mediatriz: teorema, prova e regiões
Considere A≠B e M o ponto médio de AB. A mediatriz é a reta perpendicular a AB que passa por M.
Se P está na mediatriz, |AM|=|MB|, PM é comum e ∠AMP=∠BMP=90°. Logo ΔAMP≅ΔBMP pelo caso LAL, portanto |PA|=|PB|.
Suponha |PA|=|PB| e P≠M. Como |AM|=|MB| e |PM| é comum, ΔAMP≅ΔBMP por LLL. Assim ∠AMP=∠BMP; como são adjacentes e suplementares, cada um mede 90°. Logo PM⊥AB e P pertence à mediatriz. Se P=M, a pertença é imediata.
Se A=B, então |PA|=|PB| para todo P: o lugar é o plano inteiro, não uma mediatriz determinada por dois pontos distintos.
|PA|=|PB|: a mediatriz.
|PA|<|PB| é o semiplano aberto que contém A; |PA|≤|PB| é o semiplano fechado que também inclui a mediatriz.
|PA|>|PB| é o semiplano aberto que contém B; |PA|≥|PB| é o semiplano fechado que também inclui a mediatriz.
A fronteira entre regiões mais próximas de A e B é sua mediatriz.
Circunferência, disco e distância de reta ou segmento
Centro O fixo e R>0
Circunferência: apenas a fronteira.
Interior, sem a circunferência.
Disco fechado: interior e fronteira.
Exterior sem a fronteira, ou circunferência juntamente com a região exterior.
Se R=0, |PO|=0 define somente O, não uma circunferência não degenerada.
Distância de uma reta r
Para d>0, d(P,r)=d produz duas paralelas a r, uma em cada semiplano. Todo ponto dessas paralelas tem perpendicular de comprimento d até r, e qualquer ponto a distância d pertence a uma delas. Se d=0, o lugar é a própria r.
faixa aberta entre as paralelas.
Faixa fechada com as fronteiras.
Duas regiões exteriores abertas.
Regiões exteriores com as fronteiras.
Se d(P,AB) é a menor distância de P aos pontos do segmento AB, então d(P,AB)=d>0 forma dois segmentos paralelos a AB e duas semicircunferências de raio d centradas em A e B: a borda de uma cápsula. Isso difere da distância à reta infinita AB.
Bissetrizes e retas paralelas
Para retas distintas e concorrentes r e s, d(P,r)=d(P,s) define as duas bissetrizes dos quatro ângulos: uma para cada par de ângulos opostos. As duas bissetrizes são perpendiculares.
Se P é restringido ao interior de ∠AOB, a equidistância das semirretas OA e OB produz somente a bissetriz interna.
Trace PM⊥OA e PN⊥OB. Se OP é bissetriz, os triângulos retângulos OMP e ONP têm hipotenusa OP comum e ângulos agudos em O congruentes; portanto são congruentes e |PM|=|PN|. Reciprocamente, se |PM|=|PN|, hipotenusa OP comum e catetos PM,PN congruentes dão congruência; logo os ângulos determinados por OP em O são iguais.
Para retas paralelas distintas r e s a distância D, d(P,r)=d(P,s) define uma única paralela média, distante D/2 de cada uma. Se r=s, o lugar é o plano inteiro.
Centros notáveis como interseções
Em triângulo não degenerado ABC, |PA|=|PB| e |PA|=|PC| levam às mediatrizes de AB e AC. A interseção pertence também à terceira mediatriz.
As três bissetrizes internas encontram-se num ponto interior equidistante dos três lados.
Uma bissetriz interna e duas externas produzem cada um dos três excentros. Incentro e excentros são os quatro pontos equidistantes das três retas laterais.
São as interseções das retas das alturas e das medianas. Nesta abordagem, não decorrem dos lugares elementares de equidistância anteriores.
O circuncentro fica dentro, no ponto médio da hipotenusa ou fora conforme o triângulo seja acutângulo, retângulo ou obtusângulo. O baricentro divide cada mediana na razão 2:1 a partir do vértice. O ortocentro fica dentro, sobre ou fora nos mesmos três tipos de triângulo.
Lógica e combinação de condições
Se L₁={P:C₁} e L₂={P:C₂}, a linguagem do enunciado determina a operação:
C₁ e C₂ → L₁∩L₂. O ponto deve satisfazer simultaneamente as duas condições.
C₁ ou C₂ → L₁∪L₂. Pontos que satisfazem ambas também entram, salvo indicação de exclusividade.
não C₁ → complemento de L₁ no universo adotado.
< e > produzem fronteira excluída; ≤ e ≥ incluem a fronteira.
Posições relativas e quantidade de soluções
Reta e circunferência
Para uma circunferência de centro O, raio R>0 e δ=d(O,r): δ>R dá 0 pontos; δ=R dá 1 ponto (tangência); 0≤δ<R dá 2 pontos.
Duas circunferências
Considere centros O₁ e O₂, raios R₁,R₂>0 e distância d=|O₁O₂|.
| Condição | Posição | Pontos comuns |
|---|---|---|
| d>R₁+R₂ | Exteriores separadas | 0 |
| d=R₁+R₂ | Tangência externa | 1 |
| |R₁−R₂|<d<R₁+R₂ | Secantes | 2 |
| d=|R₁−R₂|, centros distintos | Tangência interna | 1 |
| 0≤d<|R₁−R₂| | Uma no interior da outra | 0 |
| d=0 e R₁≠R₂ | Concêntricas distintas | 0 |
| d=0 e R₁=R₂ | Coincidentes | Infinitos |
Duas retas
Retas concorrentes têm 1 ponto comum; paralelas distintas, 0; coincidentes, infinitos. Use essa classificação quando cada condição produzir uma reta.
Construções com régua e compasso
Mediatriz de AB
- Considere A≠B e abra o compasso com raio maior que |AB|/2.
- Com o mesmo raio, trace arcos de centros A e B; eles se cruzam em dois pontos.
- Trace a reta por essas interseções. Cada ponto de arco está à mesma distância de A e B, portanto a reta é a mediatriz.
Bissetriz interna de ∠AOB
- Com centro O, trace um arco que encontre as semirretas OA e OB em A e B.
- Com a mesma abertura, trace arcos de centros A e B e escolha a interseção P no interior do ângulo.
- Trace a semirreta OP. Os triângulos OAP e OBP são congruentes, logo OP é bissetriz.
Construa duas mediatrizes e verifique que a interseção equidista dos três vértices.
Construa duas bissetrizes internas; uma perpendicular a um lado fornece o inraio, igual para os três lados.
Aprofundamento: cônicas como lugares geométricos
F∉d e |PF|=d(P,d): pontos equidistantes do foco F e da diretriz d.
F₁≠F₂ e |PF₁|+|PF₂|=c, com c>|F₁F₂|.
||PF₁|−|PF₂||=c, com 0<c<|F₁F₂|.
A≠B, k>0 e |PA|/|PB|=k. Se k=1, há mediatriz; se k≠1, há circunferência.
Este quadro é introdutório; as equações cartesianas serão estudadas em Geometria Analítica.
Aplicações e estratégia de resolução
Posto equidistante: mediatriz do segmento que une as cidades.
Instalação a distância fixa: duas paralelas, não uma cápsula.
Equidistância: duas bissetrizes; restrição ao interior pode selecionar uma.
Centro da circunferência: encontro de duas mediatrizes.
Atendimento até raio R: disco fechado.
Pontos igualmente próximos de dois postos: mediatriz, base de Voronoi.
- Identifique o ponto variável.
- Traduza cada frase em condição matemática.
- Determine o lugar de cada condição.
- Reconheça “e”, “ou” ou “não”.
- Faça interseção, união ou complemento.
- Aplique restrições de interior, semiplano, segmento ou faixa.
- Analise posições relativas.
- Conte as soluções.
- Verifique todas no enunciado.
- Não escolha pontos somente pelo desenho.
Pegadinhas
- Uma direçãoNão prova uma equivalência.
- A≠BÉ hipótese da mediatriz não degenerada.
- PA e |PA|Segmento e comprimento não são a mesma notação.
- Circunferência e discoFronteira e região são diferentes.
- < e ≤A segunda desigualdade inclui a fronteira.
- Distância positiva de retaProduz duas paralelas.
- Reta e segmentoGeram lugares diferentes.
- Retas concorrentesExigem duas bissetrizes no plano todo.
- Bissetriz externaNão pode ser esquecida.
- Três retas lateraisIncentro e três excentros equidistam delas.
- BaricentroNão é um lugar elementar de equidistância nesta abordagem.
- “E”Significa interseção, não união.
- “Ou”Significa união inclusiva, salvo indicação.
- Região permitidaInterseções externas devem ser descartadas.
- CoincidentesDuas circunferências iguais têm infinitos pontos comuns.
- TangênciaDeve ser comprovada por distâncias.
- Número de soluçõesDepende da posição relativa, não da aparência.
Questões resolvidas
1. Equidistância de dois pontos
Determine o lugar de |PA|=|PB|, com A≠B.
Condição: P equidista dos pontos fixos A e B.
Lugar: mediatriz de AB, pelo teorema bicondicional.
Operação: uma única condição; infinitos pontos na reta.
2. Até cinco unidades de O
Determine o lugar de |PO|≤5.
A igualdade dá a circunferência; a desigualdade inclui distâncias menores.
Lugar: disco fechado de centro O e raio 5.
A fronteira está incluída por causa de ≤.
3. Duas retas concorrentes
P equidista das retas completas r e s.
Condição: d(P,r)=d(P,s).
Lugar completo: as duas bissetrizes perpendiculares.
Sem restrição angular, não se pode escolher apenas a interna.
4. Duas paralelas
r∥s são distintas e estão a distância D.
Condição: d(P,r)=d(P,s).
Lugar: a única paralela média.
Cada ponto dela está a D/2 das duas retas.
5. Mediatriz e circunferência
|PA|=|PB| e |PO|=5.
Primeiro lugar: mediatriz de AB. Segundo: circunferência de centro O e raio 5.
“E” exige interseção.
Conforme d(O,mediatriz) seja maior, igual ou menor que 5, há 0, 1 ou 2 soluções.
6. Duas circunferências secantes
R₁=5, R₂=3 e d=6.
|5−3|=2 e 5+3=8.
Como 2<6<8, as circunferências são secantes.
Conclusão: duas soluções.
7. Tangência externa
R₁=5, R₂=3 e d=8.
R₁+R₂=8=d.
As circunferências são tangentes externamente.
Conclusão: uma solução.
8. Circunferências separadas
R₁=5, R₂=3 e d=9.
R₁+R₂=8 e d=9>8.
Os discos podem estar separados; as circunferências não se cruzam.
Conclusão: nenhuma solução.
9. Mais próximo de A e dentro do disco
|PA|<|PB| e |PO|≤R.
Primeiro lugar: semiplano aberto da mediatriz que contém A.
Segundo lugar: disco fechado.
“E” produz a interseção dessas regiões; a mediatriz não entra, a circunferência entra.
10. Circunferência por três pontos
A, B e C são não colineares.
O centro P precisa satisfazer |PA|=|PB| e |PA|=|PC|.
Logo pertence às mediatrizes de AB e AC.
Elas se cruzam num único circuncentro, que também equidista de B e C.
Exercícios
1. Uma demonstração completa de lugar geométrico exige:
2. Para A≠B, |PA|=|PB| define:
3. Para R>0, |PO|≤R define:
4. Para d>0, d(P,r)=d define:
5. No plano todo, os pontos equidistantes de duas retas distintas e concorrentes formam:
6. Duas paralelas distintas estão a distância D. Seu lugar de equidistância é:
7. O centro da circunferência que passa por três pontos não colineares é:
8. Os pontos equidistantes das três retas que contêm os lados de um triângulo são:
9. Se P deve satisfazer simultaneamente C₁ e C₂, o conjunto solução é:
10. Uma reta r está à distância δ=R do centro de uma circunferência de raio R>0. Quantos pontos comuns existem?
11. Circunferências de raios 5 e 3 têm centros a distância 6. Elas possuem:
12. Circunferências de raios 5 e 3 têm centros a distância 8. Elas possuem:
13. Duas circunferências têm o mesmo centro e o mesmo raio positivo. O conjunto comum possui:
14. A região dos pontos mais próximos de A que de B e a distância no máximo R de O é:
15. Para construir a mediatriz de AB com A≠B, deve-se:
Gabarito comentado:
1-B: “todos e somente” exige L⇒C e C⇒L; uma direção isolada é insuficiente.
2-C: com A≠B, a equidistância dos extremos caracteriza exatamente a mediatriz.
3-A: ≤ inclui os pontos internos e a circunferência; por isso o lugar é o disco fechado.
4-D: d>0 gera uma paralela em cada semiplano de r; d=0 é que geraria r.
5-B: retas completas determinam quatro ângulos; seus pontos equidistantes estão nas duas bissetrizes perpendiculares.
6-C: a paralela média é o único lugar e fica a D/2 de r e de s; se as retas coincidissem, seria o plano.
7-A: o centro deve equidistar de A,B,C; a interseção das mediatrizes de dois lados fornece o único circuncentro.
8-D: as combinações de bissetrizes internas e externas fornecem incentro e três excentros, não apenas o incentro.
9-B: “simultaneamente” significa “e”, portanto interseção L₁∩L₂.
10-C: δ=R é a condição de tangência entre reta e circunferência, com um ponto comum.
11-A: |5−3|=2<6<8=5+3; são secantes e têm dois pontos comuns.
12-D: d=8=5+3 caracteriza tangência externa e uma única solução.
13-B: d=0 e raios iguais significam circunferências coincidentes; todos os seus pontos são comuns.
14-C: |PA|<|PB| dá o semiplano aberto de A e |PO|≤R dá o disco fechado; “e” exige interseção.
15-A: cada interseção dos arcos equidista de A e B; a reta pelas duas interseções é a mediatriz. O raio maior que |AB|/2 garante os dois cruzamentos.
Resumo final
Um lugar exige condição necessária e suficiente.
Prove L⇒C e C⇒L.
A≠B e |PA|=|PB|.
Duas para retas concorrentes; uma interna se o ângulo for restringido.
Igualdade dá fronteira; ≤ dá região fechada.
d>0 gera duas paralelas; desigualdades geram faixas.
Equidista de duas paralelas distintas.
São interseções de retas notáveis.
Interseção e união inclusiva.
Conte após analisar posições relativas e restrições.
A=B, r=s, R=0 e circunferências coincidentes devem ser declarados.
Ilustra, mas não substitui hipótese, marca ou cálculo.