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Lugares geométricos

Conjuntos de pontos e construções

Traduza condições de distância em conjuntos de pontos e interseções.

Todos e somente os pontos

Lugar geométrico é o conjunto de todos e somente os pontos que satisfazem uma condição. A prova tem duas direções: todo ponto do lugar satisfaz a condição; todo ponto que satisfaz a condição pertence ao lugar.

Lugares fundamentais

  • PA=PB: mediatriz de AB;
  • PO=R>0: circunferência;
  • PO≤R: disco;
  • equidistância de retas concorrentes: duas bissetrizes;
  • distância d>0 de uma reta: duas paralelas;
  • distância zero: a própria reta;
  • equidistância de paralelas: paralela média.
Interseção entre uma mediatriz e uma circunferência O segmento AB tem ponto médio M, marcado por AM igual a MB. Sua mediatriz é perpendicular a AB em M. A circunferência de centro O corta a mediatriz em P1 e P2. A B M O P₁ P₂ R AM = MB
P₁ e P₂ satisfazem simultaneamente PA=PB, por pertencerem à mediatriz, e PO=R, por pertencerem à circunferência. Figura ilustrativa, sem escala.
Lugares de pontos equidistantes de retas À esquerda, as duas bissetrizes de duas retas concorrentes são os lugares dos pontos equidistantes dessas retas. À direita, duas retas paralelas, uma de cada lado de r, ficam à distância positiva d de r. duas bissetrizes distância d de r r s b₁ b₂ r d d
As bissetrizes reúnem os pontos equidistantes de duas retas concorrentes; para d>0, o lugar dos pontos a distância d de r é formado por duas paralelas a r. Figura ilustrativa, sem escala.

Centros como interseções

Circuncentro é interseção de mediatrizes; incentro, de bissetrizes internas; ortocentro, de alturas; baricentro, de medianas. Os dois últimos são interseções de retas notáveis, não lugares geométricos isolados.

Combinação de condições

Construa um lugar para cada condição e interseccione. Reta e circunferência podem produzir 0, 1 ou 2 soluções; duas circunferências também. Restrições de semiplano, interior ou segmento eliminam interseções incompatíveis.

Construções e regiões

Equidistância de dois pontos usa mediatriz; distância fixa de ponto usa circunferência; distância fixa de reta usa duas paralelas. Descreva quantidade de soluções após analisar posições relativas.

Pegadinhas

  • Provar apenas uma direção do lugar geométrico.
  • Confundir circunferência PO=R com disco PO≤R.
  • Dizer que distância fixa positiva de reta gera uma paralela.
  • Chamar baricentro de lugar geométrico isolado.
  • Contar interseções fora da região permitida.

Questões resolvidas

1. Duas condições

P equidista de A,B e satisfaz PO=5.

Primeiro lugar: mediatriz de AB.

Segundo: circunferência de centro O e raio 5.

As soluções são 0,1 ou 2 interseções.

2. Retas concorrentes

P equidista de r e s concorrentes.

O lugar completo é formado pelas duas bissetrizes, interna e externa.

3. Paralelas

P equidista de r∥s.

Existe uma única paralela média entre elas.

Ela fica à metade da distância entre r e s.

Exercícios

Fácil

1. PA=PB define:

A) circunferênciaB) mediatrizC) medianaD) bissetriz
Médio

2. PO≤R define:

A) somente circunferênciaB) discoC) exterior do círculoD) reta
Médio

3. No diagrama, as soluções simultâneas PA=PB e PO=R são:

A) A e BB) O apenasC) P₁ e P₂D) todos os pontos da mediatriz
Difícil

4. Pontos a distância d>0 de uma reta formam:

A) a própria retaB) uma paralelaC) duas paralelasD) uma circunferência
Difícil

5. P deve estar na mediatriz de AB, dentro do disco de centro O e raio R e num semiplano indicado. O procedimento correto é:

A) usar só a mediatrizB) intersectar os lugares e aplicar a restrição de regiãoC) usar só o discoD) escolher pelo desenho

Gabarito comentado:

1-B: É o lugar dos pontos equidistantes dos extremos.

2-B: Inclui interior e borda.

3-C: São as interseções da mediatriz com a circunferência.

4-C: Há uma paralela em cada lado.

5-B: Todas as condições devem ser satisfeitas simultaneamente.

Resumo final

  • Lugar geométrico exige prova nas duas direções.
  • Igualdade de distância define linhas; desigualdade pode definir regiões.
  • Centros são interseções de famílias de retas notáveis.
  • Combinações são resolvidas por interseções.
  • Restrições de região podem reduzir o número de soluções.