Áreas de triângulos
h é a altura perpendicular à base b; em ab·sen(C)/2, C é o ângulo compreendido; em Heron, a,b,c formam triângulo e p é semiperímetro.
A=ab·sen(C)/2
p=(a+b+c)/2
A=√[p(p−a)(p−b)(p−c)]
equilátero: A=l²√3/4
Áreas de quadriláteros
paralelogramo: bh
trapézio: (B+b)h/2
losango e deltoide: Dd/2
Nas duas últimas, diagonais são perpendiculares; no deltoide uma diagonal bisseta a outra, permitindo a decomposição.
Polígono regular
P é o perímetro e ap o apótema:
A fórmula soma n triângulos centrais de altura ap.
Círculo, setor e coroa
A_setor=α/360°·πR² (α em graus)
A_setor=R²α/2 (α em radianos)
A_coroa=π(R²−r²)
Decomposição, sobreposição e escala
Some regiões disjuntas; em sobreposição, subtraia o que foi contado duas vezes. Converta unidades ao quadrado: 1 m²=10.000 cm². Em figuras semelhantes, A₂/A₁=k².
Pegadinhas
- Usar lado inclinado como altura.
- Usar seno de ângulo não compreendido.
- Aplicar Heron a medidas que não formam triângulo.
- Confundir apótema ap com lado a.
- Converter m² em cm² por 100.
Questões resolvidas
1. Heron
Lados 13,14,15.
p=21.
A=√(21·8·7·6)=84.
2. Setor e coroa
Setor de 90°, R=6, com círculo concêntrico r=2 retirado apenas no setor.
Área setorial da coroa=1/4·π(36−4).
A=8π.
3. Semelhança
Área menor 27 e razão linear maior/menor 4/3.
Razão de áreas=16/9.
Área maior=48.
Exercícios
1. Triângulo com b=12,h=7 tem área:
2. Em A=ab·sen C/2, C deve ser:
3. No diagrama, um setor de 90° e R=4 ocupa área:
4. Um quadrado de lado 10 contém círculo inscrito. Área sombreada fora do círculo:
5. Uma figura semelhante tem área 0,72 m² e razão linear 1/3 para uma menor. Área menor em cm²:
Gabarito comentado:
1-A: A=12·7/2=42.
2-B: Essa correspondência é hipótese da fórmula.
3-B: É 1/4 de 16π.
4-B: Raio 5; diferença 100−π·25.
5-B: 0,72/9=0,08 m²=800 cm².
Resumo final
- Defina variáveis e hipóteses antes das fórmulas.
- Heron exige triângulo válido.
- Setor usa graus ou radianos em fórmulas distintas.
- Áreas compostas controlam sobreposição.
- Conversões de área elevam o fator linear ao quadrado.