O que é raiz?
Encontrar uma raiz é procurar o número que, elevado a uma potência, produz o número que está dentro do radical.
A raiz quadrada de 49 é 7 porque 7 multiplicado por 7 resulta em 49. A radiciação funciona como o caminho de volta da potenciação.
Partes do radical
| Parte | Exemplo em √36 | Significado |
|---|---|---|
| Símbolo radical | √ | Indica que vamos calcular uma raiz. |
| Radicando | 36 | É o número que está dentro do radical. |
| Índice | 2, que fica oculto | Mostra qual potência será desfeita. Na raiz quadrada, o índice 2 não é escrito. |
Leitura: √36 é lido como “raiz quadrada de trinta e seis”.
Raiz quadrada
A raiz quadrada procura um número que, multiplicado por ele mesmo, produz o radicando.
√9 = 3, pois 32 = 9
√64 = 8, pois 82 = 64
√121 = 11, pois 112 = 121
O símbolo √ representa a raiz principal, que é não negativa. Por isso, √49 = 7, e não ±7.
Mas atenção: se a pergunta for “quais números ao quadrado dão 49?”, então as respostas são 7 e -7.
Raiz cúbica
Na raiz cúbica, o índice é 3. Procuramos um número que, multiplicado por ele mesmo três vezes, gera o radicando.
∛8 = 2
∛125 = 5
∛-8 = -2, pois (-2)3 = -8
Ao contrário da raiz quadrada, a raiz cúbica de um número negativo existe nos números reais.
Relação com potências
Radiciação e potenciação são operações inversas quando trabalham com o mesmo índice.
| Potência | Radiciação | Conclusão |
|---|---|---|
| 62 = 36 | √36 = 6 | Raiz quadrada desfaz o quadrado. |
| 43 = 64 | ∛64 = 4 | Raiz cúbica desfaz o cubo. |
| 25 = 32 | 5√32 = 2 | Raiz de índice 5 desfaz a quinta potência. |
Raiz como potência de expoente fracionário
Uma raiz também pode ser escrita como uma potência com expoente fracionário.
√25 = 251/2 = 5
∛8 = 81/3 = 2
4√16 = 161/4 = 2
Como ler: o denominador do expoente fracionário indica o índice da raiz. Em raízes de índice par, o radicando deve ser não negativo nos números reais.
Simplificação de radicais
Quando o radicando não é um quadrado perfeito, procure dentro dele um fator que seja quadrado perfeito.
√72 = √(36 × 2)
√72 = √36 × √2
√72 = 6√2
O 36 sai da raiz porque √36 = 6. Já o 2 permanece, pois não possui raiz quadrada inteira.
Propriedades importantes
As propriedades abaixo ajudam a transformar e simplificar radicais. Leia também as condições: elas evitam conclusões erradas nos números reais.
| Propriedade | Fórmula | Exemplo | Condição ou cuidado |
|---|---|---|---|
| Raiz do produto | √(a · b) = √a · √b | √(9 · 4) = 3 · 2 = 6 | Na raiz quadrada real: a ≥ 0 e b ≥ 0. |
| Raiz do quociente | √(a / b) = √a / √b | √(25 / 4) = 5 / 2 | a ≥ 0 e b > 0. |
| Potência de uma raiz | (√a)2 = a | (√7)2 = 7 | Para índice par, o radicando precisa ter raiz real. |
| Raiz de uma potência | √(a2) = |a| | √((-5)2) = 5 | Não escreva apenas a: a raiz principal nunca é negativa. |
| Mesmo índice par ou ímpar | n√(an) = |a|, se n é par; = a, se n é ímpar | 4√((-3)4) = 3; ∛((-2)3) = -2 | Índice par devolve valor não negativo; ímpar pode devolver negativo. |
| Multiplicação de radicais | n√a · n√b = n√(a · b) | √2 · √8 = √16 = 4 | Os radicais precisam ter o mesmo índice. Na raiz quadrada real: a, b ≥ 0. |
| Divisão de radicais | n√a / n√b = n√(a / b) | √18 / √2 = √9 = 3 | Mesmo índice, denominador diferente de zero e raízes existentes. |
| Raiz de outra raiz | m√(n√a) = mn√a | √(∛64) = 6√64 = 2 | Os índices são multiplicados; respeite a existência das raízes reais. |
| Retirada de fator | √(a2 · b) = |a|√b | √72 = √(36 · 2) = 6√2 | Se a ≥ 0, podemos escrever a√b. |
| Introdução de fator | a√b = √(a2 · b) | 3√2 = √(32 · 2) = √18 | Na raiz quadrada, a fórmula direta considera a ≥ 0. |
√(9 + 16) = √25 = 5
√9 + √16 = 3 + 4 = 7
Logo, √(9 + 16) ≠ √9 + √16. A mesma cautela vale para a subtração.
Soma e subtração de radicais semelhantes
Radicais semelhantes têm o mesmo índice e o mesmo radicando. Nesse caso, somamos ou subtraímos apenas os coeficientes que ficam fora da raiz.
3√2 + 5√2 = (3 + 5)√2 = 8√2
7√3 - 2√3 = 5√3
2∛5 + 4∛5 = 6∛5
O radical funciona como a parte comum da expressão. Por isso, 3√2 + 5√2 pode ser tratado como 3x + 5x.
√2 + √3 não pode ser reduzido diretamente: os radicandos são diferentes.
2√3 + 4√5 também não pode ser somado diretamente.
Não escreva √2 + √3 = √5.
Antes de concluir que dois radicais não são semelhantes, simplifique-os quando possível.
√8 + √2 = 2√2 + √2 = 3√2
√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
Racionalização de denominadores
Racionalizar um denominador significa transformar uma fração equivalente para retirar o radical que está embaixo. O valor não muda, pois multiplicamos numerador e denominador pelo mesmo fator.
Importante: racionalizar não é apagar a raiz. É multiplicar corretamente o numerador e o denominador.
Denominador formado por uma raiz quadrada
Quando o denominador possui apenas √a, multiplicamos a fração por √a / √a.
1 / √3 × √3 / √3 = √3 / (√3 × √3)
1 / √3 = √3 / 3
5 / √7 = 5√7 / 7
√a × √a = a, para a ≥ 0.
Condição no denominador: em 1 / √a, precisamos de a > 0. A raiz deve existir nos reais e o denominador não pode ser zero.
Denominador com coeficiente e radical
3 / (2√5) × √5 / √5
= 3√5 / (2 × 5)
= 3√5 / 10
4 / (3√2) × √2 / √2 = 4√2 / 6
4√2 / 6 = 2√2 / 3
Depois: simplifique a fração quando houver fator comum.
O que é o conjugado?
Duas expressões são conjugadas quando mantêm os mesmos termos e trocam apenas o sinal entre eles: o conjugado de √3 + 1 é √3 - 1; o de √5 - 2 é √5 + 2.
(a + b)(a - b) = a2 - b2
(√3 + 1)(√3 - 1) = 3 - 1 = 2
Denominador com soma
Se o denominador tem dois termos ligados por soma ou subtração, usamos o conjugado da expressão inteira.
1 / (√3 + 1) × (√3 - 1) / (√3 - 1)
= (√3 - 1) / [(√3 + 1)(√3 - 1)]
= (√3 - 1) / (3 - 1) = (√3 - 1) / 2
Denominador com subtração
2 / (√5 - 1) × (√5 + 1) / (√5 + 1)
= 2(√5 + 1) / (5 - 1)
= 2(√5 + 1) / 4 = (√5 + 1) / 2
| Tipo de denominador | Multiplicar por | Exemplo |
|---|---|---|
| Um radical √a | √a / √a | 1 / √2 = √2 / 2 |
| Número vezes radical b√a | √a / √a | 3 / (2√5) = 3√5 / 10 |
| Soma a + √b | Conjugado a - √b | 1 / (1 + √2) |
| Subtração a - √b | Conjugado a + √b | 1 / (2 - √3) |
Raízes não exatas
Alguns números não têm raiz quadrada inteira. Nesses casos, podemos simplificar ou localizar aproximadamente o valor.
√20 = √(4 × 5) = 2√5: esta é a forma simplificada.
16 < 20 < 25
√16 < √20 < √25, portanto 4 < √20 < 5.
Assim, 2√5 mostra a forma simplificada, enquanto 4 < √20 < 5 mostra onde a raiz está localizada, mesmo sem calculadora.
Raiz de números negativos
Nos números reais, não existe raiz quadrada de número negativo, pois o quadrado de qualquer número real nunca é negativo.
Já índices ímpares aceitam radicandos negativos: ∛-27 = -3.
Aplicações
Raízes aparecem, por exemplo, quando conhecemos a área de um quadrado e precisamos descobrir o lado.
Um quadrado tem área de 144 cm2.
lado2 = 144
lado = √144 = 12 cm
Em problemas de geometria e na fórmula de Bhaskara, a ideia é a mesma: usar a raiz para desfazer uma potência.
Como cai em prova
Questões de radiciação costumam cobrar quadrados perfeitos, simplificação de radicais, comparação de valores, problemas de área e relação entre raiz e potência.
- Transformação entre radical e expoente fracionário.
- Soma e subtração de radicais semelhantes, simplificando antes quando necessário.
- Racionalização com radical simples ou com uso do conjugado.
Dica de leitura: antes de calcular, identifique o índice, simplifique o radical e observe se o denominador pede conjugado.
Pegadinhas de prova
- √49 é 7; o símbolo da raiz representa a raiz principal, não automaticamente 7 e -7.
- Nos reais, √(a2) = |a|. Por exemplo, √((-4)2) = 4, não -4.
- Não aplique uma propriedade de produto em uma soma: √(4 + 9) ≠ √4 + √9.
- Não multiplique ou divida diretamente radicais com índices diferentes, como √2 · ∛3.
- Retire apenas fatores que formam potências perfeitas: √12 = 2√3, não 6√2.
- √(-16) não existe nos reais, mas ∛-8 = -2.
Método de resolução
- Observe o índice: quadrada, cúbica ou outra raiz.
- Procure uma potência perfeita no radicando.
- Se necessário, decomponha o radicando em fatores.
- Confira se a resposta respeita o sinal e o conjunto numérico pedido.
Questões resolvidas
1. Raiz quadrada
Qual é o valor de √169?
132 = 169. Portanto, √169 = 13. Resposta: C.
2. Simplificação
Simplifique √45.
45 = 9 × 5. Então √45 = √9 × √5 = 3√5. Resposta: A.
3. Raiz cúbica
Qual é o valor de ∛-64?
(-4)3 = -64. Logo, ∛-64 = -4. Resposta: A.
4. Área de quadrado
Um quadrado tem área de 81 cm2. Qual é a medida do lado?
lado = √81 = 9 cm. Resposta: C.
5. Raiz de potência
Calcule √((-6)2).
√(a2) = |a|. Assim, √((-6)2) = |-6| = 6. Resposta: B.
6. Divisão de radicais
Calcule √50 / √2.
√50 / √2 = √(50 / 2) = √25 = 5. Resposta: A.
7. Racionalização simples
Racionalize 3 / √5.
Multiplicamos por √5 / √5: 3 / √5 = 3√5 / 5. Resposta: A.
8. Uso do conjugado
Racionalize 1 / (√2 + 1).
O conjugado é √2 - 1. O denominador fica 2 - 1 = 1, então o resultado é √2 - 1. Resposta: B.
9. Racionalização e simplificação
Racionalize 4 / (3√2).
4 / (3√2) = 4√2 / 6. Simplificando por 2, obtemos 2√2 / 3. Resposta: A.
10. Radicais semelhantes
Calcule 3√5 + 2√5.
Os radicais são semelhantes. Somamos os coeficientes: (3 + 2)√5 = 5√5. Resposta: A.
11. Simplificação antes da soma
Calcule √8 + √2.
√8 = √(4 × 2) = 2√2. Então 2√2 + √2 = 3√2. Resposta: B.
Exercícios para treinar
1. O valor de √36 é:
2. Qual número possui raiz quadrada igual a 9?
3. O valor de ∛125 é:
4. Simplifique √12.
5. Simplifique √75.
6. Qual expressão está correta?
7. Nos reais, √(-25) é:
8. O valor de (√7)2 é:
9. A raiz quadrada de 200 simplificada é:
10. A área de um quadrado é 225 cm2. Seu lado mede:
11. O valor de √((-8)2) é:
12. Calcule √18 / √2.
13. Racionalize 1 / √7.
14. O conjugado de √5 + 3 é:
15. Racionalize 1 / (√3 - 1).
16. A forma de potência equivalente a ∛8 é:
17. Calcule 4√3 - √3.
18. Calcule √12 + √27.
Gabarito comentado:
1-B: √36 = 6. 2-C: 92 = 81. 3-A: 53 = 125. 4-B: √12 = √(4 × 3) = 2√3.
5-C: √75 = √(25 × 3) = 5√3. 6-A: a raiz do produto pode ser separada neste caso. 7-D: raiz quadrada de negativo não existe nos reais. 8-B: a potência desfaz a raiz. 9-C: √200 = √(100 × 2) = 10√2. 10-A: lado = √225 = 15 cm. 11-B: √((-8)2) = |-8| = 8. 12-B: √18 / √2 = √9 = 3. 13-B: multiplicando numerador e denominador por √7, obtemos √7 / 7. 14-B: o conjugado de √5 + 3 é √5 - 3. 15-B: usando o conjugado √3 + 1, o denominador se torna 3 - 1 = 2, resultando em (√3 + 1) / 2. 16-B: a raiz cúbica pode ser escrita com expoente 1/3, então ∛8 = 81/3. 17-B: os radicais são semelhantes; 4√3 - √3 = 3√3. 18-A: √12 = 2√3 e √27 = 3√3; portanto, a soma é 5√3.
Resumo final
- A raiz desfaz uma potência de mesmo índice.
- √a indica a raiz quadrada principal de a.
- √(a2) = |a| nos números reais.
- Se o índice é par, n√(an) = |a|; se é ímpar, n√(an) = a.
- (n√a)n = a, respeitando as condições de existência da raiz.
- Radicais de mesmo índice podem ser multiplicados ou divididos usando as propriedades.
- Uma raiz de outra raiz multiplica os índices.
- Fatores que formam potências perfeitas podem sair ou entrar no radical.
- As propriedades do produto e do quociente não se aplicam diretamente à soma e à subtração.
- Raiz quadrada de número negativo não existe nos reais; raiz cúbica de negativo existe.