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Potenciação

Repetição, propriedades, potências de dez e notação científica

Potenciação é uma maneira curta de escrever multiplicações repetidas. Ela aparece em áreas, volumes, números grandes, números pequenos e em muitos problemas de prova.

O que é potenciação?

Uma potência encurta uma multiplicação em que o mesmo número aparece várias vezes.

24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Lemos 24 como “dois elevado à quarta potência” ou “dois elevado a quatro”. Não significa 2 × 4: significa multiplicar o 2 por ele mesmo quatro vezes.

Base e expoente

Em uma potência, cada número tem uma função.

EscritaNomeO que indica
35Base: 3É o número que será repetido na multiplicação.
35Expoente: 5Indica quantas vezes a base aparece como fator.
35 = 243Potência: 243É o resultado da multiplicação repetida.

Exemplo: 53 = 5 × 5 × 5 = 125. A base é 5 e o expoente é 3.

Como calcular uma potência

Escreva a base repetida a quantidade indicada pelo expoente e faça as multiplicações.

Exemplo: 43

43 = 4 × 4 × 4

43 = 16 × 4

43 = 64

O expoente não é um multiplicador separado. Por isso, 43 não é 4 × 3 = 12.

Casos especiais: expoente 1 e expoente 0

RegraExemploPor quê?
a1 = a91 = 9A base aparece uma única vez.
a0 = 1, com a ≠ 070 = 1É uma regra que mantém as propriedades das potências coerentes.
0n = 0, com n > 004 = 0Zero multiplicado por ele mesmo continua sendo zero.

Atenção: 00 não é tratado nesta aula como uma potência com resultado definido.

Sinais e parênteses

Quando a base é negativa, os parênteses mostram se o sinal de menos também faz parte da base.

(-2)2 = (-2) × (-2) = 4

(-2)3 = (-2) × (-2) × (-2) = -8

-22 = -(2 × 2) = -4

Com parênteses, a base é -2. Sem parênteses, a potência vale apenas para o 2 e o sinal de menos fica do lado de fora.

Produto de potências de mesma base

Ao multiplicar potências com a mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.

am × an = am + n

23 × 24 = 23 + 4 = 27 = 128

Isso funciona porque há, ao todo, sete fatores iguais a 2.

Quociente de potências de mesma base

Ao dividir potências com a mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

am ÷ an = am - n, com a ≠ 0

56 ÷ 52 = 56 - 2 = 54 = 625

Os dois fatores 5 do denominador simplificam dois dos seis fatores do numerador.

Expoente negativo

Expoente negativo indica o inverso de uma potência. Para uma base diferente de zero:

a-n = 1 / an, com a ≠ 0

2-3 = 1 / 23 = 1/8

10-2 = 1 / 102 = 1/100 = 0,01

5-1 = 1/5

Atenção: o expoente negativo não deixa o resultado negativo. Por exemplo, 2-2 = 1/4, e não -4.

Outras propriedades importantes

PropriedadeExemploComo lembrar
(am)n = am · n(23)4 = 212Potência de potência: multiplique os expoentes.
(a · b)n = an · bn(2 · 3)2 = 22 · 32 = 36A potência alcança os dois fatores.
(a / b)n = an / bn(2/3)2 = 22 / 32 = 4/9O expoente alcança numerador e denominador.

Potência de fração: quando uma fração está elevada a um expoente, ele vale para o numerador e para o denominador. A regra (a/b)n = an/bn exige b ≠ 0.

Potências de 10

As potências de 10 facilitam a escrita de números com muitos zeros.

101 = 10

102 = 100

103 = 1 000

105 = 100 000

Quando multiplicamos por 10, 100 ou 1 000, a vírgula se desloca para a direita.

3,5 × 10 = 35

3,5 × 100 = 350

3,5 × 1 000 = 3 500

Com uma potência de 10 de expoente negativo, a vírgula se desloca para a esquerda.

3,5 × 10-1 = 0,35

3,5 × 10-2 = 0,035

Observação: em 10-2, o expoente negativo indica divisão por 100.

Notação científica

Usamos a notação científica para escrever números muito grandes ou muito pequenos de maneira mais compacta.

a × 10n, em que 1 ≤ a < 10

4 500 000 = 4,5 × 106

0,00072 = 7,2 × 10-4

Conte quantas casas a vírgula percorre até deixar o primeiro número entre 1 e 10. Para a esquerda, o expoente é positivo; para a direita, é negativo.

Como cai em prova

Em concursos, vestibulares e ENEM, potenciação costuma aparecer em cálculos com propriedades, expressões numéricas, áreas e volumes, ordem de grandeza e notação científica.

Leitura do enunciado: antes de calcular, identifique se as bases são iguais e se a operação é produto, divisão ou potência de potência.

Pegadinhas de prova

  • Não some bases: 23 × 24 é 27, não 47.
  • Não distribua expoentes em uma soma: (2 + 3)2 ≠ 22 + 32.
  • Observe os parênteses: (-3)2 = 9, mas -32 = -9.
  • O expoente zero resulta em 1 somente quando a base é diferente de zero.
  • Expoente negativo não deixa o resultado negativo: 2-2 = 1/4, não -4.
  • Em uma fração elevada a uma potência, o expoente vale para numerador e denominador: (2/3)2 = 4/9.
  • Potências de 10 ajudam a deslocar a vírgula em números grandes e pequenos.

Método de resolução

  1. Localize a base, o expoente e os parênteses.
  2. Veja qual propriedade combina com a operação apresentada.
  3. Aplique a propriedade apenas se as bases forem iguais, quando essa for a condição.
  4. Calcule o resultado e confira o sinal.

Questões resolvidas

1. Cálculo direto

Qual é o valor de 34?

A) 12B) 27C) 64D) 81

34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Resposta: D.

2. Produto de potências

Calcule 25 × 23.

A) 28B) 48C) 215D) 415

As bases são iguais, então somamos os expoentes: 25 + 3 = 28. Resposta: A.

3. Sinal

Qual é o valor de (-4)2?

A) -16B) 16C) -8D) 8

A base é -4 e o expoente é par: (-4) × (-4) = 16. Resposta: B.

4. Notação científica

Qual escrita corresponde a 0,00056?

A) 5,6 × 104B) 5,6 × 10-4C) 56 × 10-4D) 0,56 × 10-4

A vírgula se move quatro casas para a direita: 0,00056 = 5,6 × 10-4. Resposta: B.

5. Expoente negativo

Calcule 2-3.

A) -8B) -6C) 1/8D) 8

Expoente negativo indica inverso: 2-3 = 1 / 23 = 1/8. Resposta: C.

6. Potência e ordem das operações

Calcule (-2)2 + 32 × 2.

A) 14B) 18C) 22D) 26

Primeiro, as potências: (-2)2 = 4 e 32 = 9. Depois, 9 × 2 = 18. Por fim, 4 + 18 = 22. Resposta: C.

Exercícios para treinar

Fácil

1. O valor de 52 é:

A) 10B) 15C) 25D) 32
Fácil

2. Em 73, o expoente é:

A) 7B) 3C) 10D) 21
Fácil

3. Qual é o resultado de 90?

A) 0B) 9C) 90D) 1
Médio

4. Simplifique 32 × 35.

A) 37B) 67C) 310D) 610
Médio

5. Simplifique 106 ÷ 102.

A) 108B) 103C) 104D) 1012
Médio

6. O valor de (-3)3 é:

A) 27B) -27C) -9D) 9
Médio

7. O valor de -32 é:

A) 9B) -6C) 6D) -9
Difícil

8. Simplifique (23)4.

A) 212B) 27C) 84D) 264
Difícil

9. A escrita científica de 7 200 000 é:

A) 72 × 105B) 7,2 × 106C) 0,72 × 107D) 7,2 × 10-6
Difícil

10. Qual igualdade está correta?

A) (2 + 3)2 = 22 + 32B) 42 × 43 = 46C) (52)3 = 56D) 64 ÷ 62 = 68
Difícil

11. O valor de 10-2 é:

A) -100B) -10C) 0,01D) 100
Difícil

12. Calcule (2/5)2.

A) 2/25B) 4/10C) 4/25D) 25/4

Gabarito comentado:

1-C: 52 = 25. 2-B: o expoente é 3. 3-D: toda base não nula elevada a zero vale 1.

4-A: produto de mesma base soma os expoentes. 5-C: na divisão, subtraímos os expoentes. 6-B: três fatores negativos dão resultado negativo.

7-D: sem parênteses, o menos fica fora da potência. 8-A: potência de potência multiplica os expoentes. 9-B: 7,2 × 106. 10-C: 2 × 3 = 6 nos expoentes. 11-C: 10-2 = 1/102 = 1/100 = 0,01. 12-C: (2/5)2 = 22/52 = 4/25.

Resumo final

  • an significa multiplicar a base a por ela mesma n vezes.
  • No produto de potências de mesma base, somamos os expoentes; no quociente de potências de mesma base, subtraímos.
  • Na potência de potência, multiplicamos os expoentes.
  • Parênteses mudam a base: (-2)2 é diferente de -22.
  • a0 = 1 quando a é diferente de zero.
  • Expoente negativo indica inverso: a-n = 1/an, com a ≠ 0.
  • O expoente negativo não torna o resultado automaticamente negativo.
  • Em potência de fração, o expoente vale para o numerador e para o denominador.
  • Potências de 10 ajudam a deslocar a vírgula em números grandes e pequenos.
  • A notação científica usa um número entre 1 e 10 multiplicado por uma potência de 10.