O que é conjunto?
Um conjunto é um grupo de elementos. Esses elementos podem ser números, pessoas, objetos, letras, pontos, resultados de uma pesquisa ou qualquer coisa que faça sentido no problema.
A ideia mais importante é esta: para ser um conjunto, o grupo precisa estar bem definido. Ou seja, deve ser possível dizer com clareza se algo faz parte dele ou não.
Exemplos
Conjunto bem definido: “números pares menores que 10” forma {2, 4, 6, 8}, porque dá para decidir exatamente quem entra.
Grupo mal definido: “números grandes” ou “alunos altos” não funciona bem sem uma regra clara, porque depende de opinião ou de um critério que não foi explicado.
O que é elemento?
Elemento é cada item individual que está dentro de um conjunto. Se o conjunto é uma caixa com uma etiqueta, os elementos são as coisas guardadas dentro dessa caixa.
Os números 1, 2 e 3 estão dentro das chaves, então são elementos de A.
O número 5 não aparece dentro das chaves, então ele não é elemento de A.
1 ∈ ALemos “1 pertence a A”, porque 1 está dentro do conjunto A.
5 ∉ ALemos “5 não pertence a A”, porque 5 está fora do conjunto A.
Ordem não muda{1, 2, 3} e {3, 2, 1} representam o mesmo conjunto.
Repetição não conta de novo{1, 1, 2, 3} representa o mesmo conjunto que {1, 2, 3}.
Pergunta-chave: esse item está dentro do grupo ou está fora? Essa pergunta resolve a maior parte das dúvidas sobre elemento.
Traduzindo para símbolos
Esta parte não é para listar os elementos de novo. Ela serve para aprender a pegar uma frase do enunciado e transformar em uma escrita curta de Matemática.
Ideia central: a letra não é o elemento. A letra é um nome curto para o grupo inteiro. Por isso, M pode representar o conjunto dos alunos que estudam Matemática.
Formas de representar conjuntos
Agora sim estamos falando de representação: maneiras diferentes de escrever o mesmo conjunto. A ideia é reconhecer que a frase, a lista e a regra podem apontar para o mesmo grupo.
Mesmo conjunto: números pares menores que 10.
Leitura do símbolo |: ele pode ser lido como “tal que”. Então A = {x ∈ N | x é par e 0 < x < 10} significa: “A é o conjunto dos números naturais x, tais que x é par, maior que 0 e menor que 10”.
Resumo: notação ajuda a encurtar o enunciado; representação mostra o conjunto de outro jeito.
Símbolos fundamentais
| Símbolo | Significado | Exemplo |
|---|---|---|
| ∈ | pertence | 2 ∈ A |
| ∉ | não pertence | 7 ∉ A |
| ⊂ | está contido propriamente: é subconjunto, mas não é igual | B ⊂ A |
| ⊃ | contém propriamente: contém, mas não é igual | A ⊃ B |
| ⊆ | está contido ou é igual | B ⊆ A |
| ⊇ | contém ou é igual | A ⊇ B |
| ∅ | conjunto vazio | ∅ = { } |
| U | conjunto universo | Todos os elementos em análise. |
| Ac | complementar de A | Elementos de U que não estão em A. |
| ∪ | união | A ∪ B |
| ∩ | interseção | A ∩ B |
| A - B | diferença | Está em A, mas não em B. |
| Δ | diferença simétrica | Está em exatamente um dos conjuntos. |
Em alguns materiais, ⊂ aparece apenas como “está contido”. Para evitar confusão, nesta aula usamos ⊆ quando o conjunto pode ser igual ao outro.
Tipos de conjuntos
Não possui elementos.
∅ ou { }
Possui exatamente um elemento. Não precisa ser o número 0; pode ser qualquer único elemento.
{7}, {a} ou {João}
Possui uma quantidade limitada de elementos.
{1, 2, 3, 4}
Não termina; continua sem último elemento.
N = {0, 1, 2, ...}
É o conjunto de tudo que está sendo considerado no problema. Ele funciona como o limite: só olhamos para os elementos que estão dentro desse universo.
Se a questão fala de uma turma, U = todos os alunos dessa turma.
Dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos.
{1, 2} = {2, 1}
É um conjunto inteiro dentro de outro. Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2}, então B ⊆ A, porque tudo que está em B também aparece em A.
Cuidado: 1 ∈ A fala de elemento; {1} ⊆ A fala de subconjunto.
Pertinência x inclusão
Essa é uma das pegadinhas mais comuns: elemento pertence a conjunto; conjunto está contido em outro conjunto.
Se A = {1, 2, 3}, então:
2 ∈ A
{2} ⊆ A
O número 2 é elemento. O conjunto {2} é subconjunto.
Operações com conjuntos
Considere A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5}. Veja como cada operação aparece no cálculo e na linguagem de prova.
| Operação | Definição | Exemplo | Enunciado costuma dizer |
|---|---|---|---|
| A ∪ B | Elementos que estão em A ou em B. | {1, 2, 3, 4, 5} | “Matemática ou Física”. |
| A ∩ B | Elementos comuns aos dois conjuntos. | {3, 4} | “Matemática e Física”. |
| A - B | Elementos de A que não estão em B. | {1, 2} | “Somente A”. |
| Ac | Elementos do universo que não estão em A. | U - A | “Não pertencem a A”. |
| A Δ B | Elementos que estão em exatamente um dos conjuntos. | {1, 2, 5} | “A ou B, mas não ambos”. |
Diagrama de Venn
O diagrama de Venn transforma conjuntos em regiões. O retângulo representa o universo U, cada círculo representa um conjunto, e a parte onde os círculos se cruzam representa os elementos comuns.
Em questões de contagem, a regra prática é: preencha primeiro a interseção, depois as regiões “somente A” e “somente B”, e por último o que ficou fora dos dois conjuntos.
Use os botões para ver o significado de cada parte da imagem.
- 1. Defina o universo: qual é o total de pessoas, números ou objetos do problema?
- 2. Marque os conjuntos: cada círculo representa uma característica, como “estuda Matemática” ou “estuda Física”.
- 3. Comece pelo meio: a interseção A ∩ B entra primeiro, porque pertence aos dois conjuntos ao mesmo tempo.
- 4. Complete o restante: calcule “somente A”, “somente B” e, se houver total, o que ficou fora dos dois.
Cardinalidade
Cardinalidade é a quantidade de elementos de um conjunto. Quando a questão usa n(A), ela não está pedindo para descobrir quais são os elementos; ela está pedindo para contar quantos elementos existem em A.
Isso é útil porque muitos problemas de prova não querem a lista completa dos elementos. Eles querem saber quantas pessoas, números, possibilidades ou objetos ficam em cada parte do diagrama.
- n(A): quantidade de elementos de A. Se A tem 28 alunos, então n(A) = 28.
- n(B): quantidade de elementos de B. Se B tem 20 alunos, então n(B) = 20.
- n(A ∩ B): quantidade que pertence aos dois conjuntos ao mesmo tempo.
- n(A ∪ B): quantidade que pertence a A ou a B, contando cada elemento uma única vez.
Conta todos que estão em A ou em B. É a região total coberta pelos dois conjuntos.
Conta apenas quem está nos dois ao mesmo tempo. No Venn, é a parte do meio.
Conta quem está em A, mas não está em B. É o “somente A”.
Conta quem está fora de A, mas ainda dentro do conjunto universo U.
Antes de usar uma fórmula, traduza o enunciado: “gostam de Matemática” vira A; “gostam de Física” vira B; “gostam das duas” vira A ∩ B; “gostam de pelo menos uma” vira A ∪ B.
Inclusão-exclusão para dois conjuntos
Quando somamos n(A) + n(B), a interseção A ∩ B é contada duas vezes. Por isso, subtraímos uma vez a parte comum.
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
Problema resolvido com dois conjuntos
Em uma turma com 50 alunos, 28 estudam Matemática, 20 estudam Física e 8 estudam as duas disciplinas. Quantos não estudam nenhuma?
- n(M ∪ F) = 28 + 20 - 8 = 40
- Estudam pelo menos uma disciplina: 40 alunos.
- Fora dos dois conjuntos: 50 - 40 = 10.
Resposta: 10 alunos.
Inclusão-exclusão para três conjuntos
Com três conjuntos, algumas pessoas podem aparecer em duas ou três categorias ao mesmo tempo. A fórmula evita contar a mesma pessoa mais de uma vez.
Primeiro somamos todos os conjuntos. Depois retiramos as interseções de dois em dois. Só que quem está nos três foi retirado demais, então somamos a interseção tripla no final.
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Regiões importantes em três conjuntos
Em problemas com três conjuntos, o mais importante é traduzir frases como “somente”, “pelo menos” e “exatamente”. Imagine três disciplinas: Matemática (M), Física (F) e Química (Q).
| Frase do enunciado | O que significa | Exemplo |
|---|---|---|
| Exatamente uma | Está em só um conjunto: somente M, somente F ou somente Q. | Estuda apenas Matemática, ou apenas Física, ou apenas Química. |
| Exatamente duas | Está em duas disciplinas, mas não na terceira. | Estuda M e F, mas não Q; ou M e Q, mas não F; ou F e Q, mas não M. |
| Pelo menos uma | Está em uma, duas ou três disciplinas. É a união. | M ∪ F ∪ Q |
| Pelo menos duas | Está em exatamente duas ou nas três. | Quem faz dois cursos entra; quem faz os três também entra. |
| Nenhuma | Está fora dos três conjuntos, mas ainda dentro do universo. | Total de alunos menos n(M ∪ F ∪ Q). |
Cuidado: “M e F” normalmente inclui quem também faz Q, a menos que o enunciado diga “somente M e F” ou “exatamente M e F”.
Problema com três conjuntos
Em um grupo de 100 alunos, 45 estudam Matemática, 40 Física e 35 Química. As interseções M ∩ F, M ∩ Q e F ∩ Q valem 18, 15 e 12, e 5 estudam as três. Quantos não estudam nenhuma?
Neste tipo de fórmula, as interseções duplas costumam incluir quem está nos três conjuntos. Por exemplo: M ∩ F conta quem faz Matemática e Física, inclusive se também fizer Química. Se o enunciado disser “exatamente duas”, aí a tripla não entra nessa conta.
- Soma individual: 45 + 40 + 35 = 120.
- Subtrações duplas: 18 + 15 + 12 = 45.
- Devolve a tripla: +5.
- n(M ∪ F ∪ Q) = 120 - 45 + 5 = 80.
- Fora dos três: 100 - 80 = 20.
Resposta: 20 alunos.
Conjunto das partes
P(A) é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A, incluindo o conjunto vazio e o próprio A.
Aqui usamos ⊆ porque todo subconjunto de A pode ser menor que A ou pode ser igual ao próprio A. Se usássemos apenas ⊂, daria a ideia de subconjunto próprio, que é diferente.
Se A possui n elementos, cada elemento tem duas escolhas: entra ou não entra em um subconjunto. Por isso:
n(P(A)) = 2n
| Conceito | O que exclui | Quantidade se n(A)=3 |
|---|---|---|
| Todos os subconjuntos | Nada: entram ∅ e A. | 23 = 8 |
| Subconjuntos não vazios | Exclui apenas ∅. | 23 - 1 = 7 |
| Subconjuntos próprios | Exclui apenas o próprio A. | 23 - 1 = 7 |
Exemplo: se A = {1, 2, 3}, então P(A) tem 8 subconjuntos. Os não vazios são todos menos ∅. Os próprios são todos menos {1, 2, 3}. Eles têm a mesma quantidade, mas não são a mesma lista.
Resumo da diferença: “não vazio” fala sobre tirar o vazio; “próprio” fala sobre tirar o conjunto inteiro.
Leis de De Morgan
As leis de De Morgan mostram como negar uma união ou uma interseção. Elas aparecem quando o problema fala de “não estar em A ou B” ou “não estar nos dois ao mesmo tempo”.
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
| Expressão | Leitura | Ideia |
|---|---|---|
| (A ∪ B)c | Fora de A e fora de B. | Não pertence a nenhum dos dois conjuntos. |
| (A ∩ B)c | Não está na parte comum. | Pode estar só em A, só em B ou fora dos dois. |
Exemplo: se A é “estuda Matemática” e B é “estuda Física”, então (A ∪ B)c significa “não estuda Matemática e também não estuda Física”.
Diferença simétrica
A diferença simétrica A Δ B é formada pelos elementos que pertencem a exatamente um dos conjuntos. Ela retira a interseção.
A Δ B = (A - B) ∪ (B - A)
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
Como cai em prova
Em concursos militares, vestibulares e ENEM, conjuntos costumam aparecer de três formas principais:
- Linguagem matemática: questões que cobram símbolos como ∈, ∉, ⊂, ⊆, ∪, ∩ e ∅.
- Contagem: questões com cardinalidade, diagramas de Venn, união, interseção e total de elementos.
- Interpretação de enunciado: questões com palavras como “somente”, “apenas”, “nenhum”, “pelo menos”, “exatamente”, “ambos” e “ou”.
A maior dificuldade geralmente não é a fórmula, mas entender qual região do diagrama o enunciado está pedindo.
Pegadinhas de prova
- ∈ x ⊆: elemento pertence a conjunto; conjunto está contido em outro conjunto. Escreva 2 ∈ A, mas {2} ⊆ A.
- Elemento repetido: {1, 1, 2, 3} tem 3 elementos, não 4. Repetição não aumenta cardinalidade.
- “Ou” em Matemática: normalmente é inclusivo. “A ou B” inclui quem está em A, em B ou nos dois.
- “Somente A”: é A - B, não é o conjunto A inteiro.
- “Nenhum”: fica fora da união. Com total U, calcule n(U) - n(A ∪ B).
- Dois conjuntos: se somar n(A) + n(B), subtraia a interseção uma vez.
- Três conjuntos: depois de subtrair as interseções duplas, some a interseção tripla.
- Interseção dupla: em geral, A ∩ B inclui quem também está em C. Só retire C se aparecer “exatamente A e B”.
Método de resolução
- Defina o universo: descubra o total de pessoas, objetos ou números analisados.
- Nomeie os conjuntos: por exemplo, M para Matemática, F para Física e Q para Química.
- Traduza o enunciado: “ambos” vira interseção; “pelo menos um” vira união; “nenhum” fica fora da união.
- Comece pelas interseções: em diagramas, preencha primeiro a parte comum, principalmente a interseção tripla.
- Calcule as regiões “somente”: tire das quantidades maiores aquilo que já foi colocado nas interseções.
- Aplique inclusão-exclusão: use a fórmula quando a questão pedir total da união ou quando faltar uma região.
- Confira com o total: some todas as regiões do diagrama e veja se fecham com o universo.
Questões resolvidas
1. União e interseção
Se n(A)=18, n(B)=12 e n(A∩B)=5, calcule n(A∪B).
n(A∪B)=18+12-5=25. Resposta: B.
2. Somente A
Se 30 gostam de A e 12 gostam de A e B, quantos gostam somente de A?
Somente A = 30 - 12 = 18. Resposta: B.
3. Nenhum
Em um grupo de 60 pessoas, 35 estão em A ou B. Quantas não estão em nenhum?
Fora da união: 60 - 35 = 25. Resposta: B.
4. Conjunto das partes
Se A tem 4 elementos, quantos subconjuntos não vazios possui?
Todos os subconjuntos: 24=16. Tirando o vazio: 16 - 1 = 15. Resposta: B.
5. Três conjuntos
Se n(A)=20, n(B)=18, n(C)=15, as interseções duplas somam 16 e a tripla vale 4, calcule n(A∪B∪C).
20+18+15-16+4=41. Resposta: B.
6. Dois esportes
Em uma turma de 80 alunos, 45 jogam futebol, 30 jogam vôlei e 12 jogam os dois. Quantos jogam somente futebol, somente vôlei, pelo menos um esporte e nenhum?
Somente futebol: 45 - 12 = 33. Somente vôlei: 30 - 12 = 18. União: 45 + 30 - 12 = 63. Nenhum: 80 - 63 = 17.
7. Exatamente duas línguas
Em um curso, 42 estudam Inglês, 35 Espanhol e 28 Francês. As interseções Inglês/Espanhol, Inglês/Francês e Espanhol/Francês são 15, 12 e 10. Cinco estudam as três. Quantos estudam exatamente duas línguas?
Exatamente duas = (15 - 5) + (12 - 5) + (10 - 5) = 10 + 7 + 5 = 22.
8. Pelo menos duas línguas
Usando os mesmos dados da questão anterior, quantos estudam pelo menos duas línguas?
Pelo menos duas = exatamente duas + as três = 22 + 5 = 27.
Exercícios para treinar
1. Se A={1,2,3} e B={3,4}, A∪B é:
2. Se A={a,b,c}, então b:
3. O conjunto vazio é representado por:
4. Se n(A)=40, n(B)=25 e n(A∩B)=10, então n(A∪B)=:
5. Se A possui 5 elementos, P(A) possui:
6. “Somente A” corresponde a:
7. Em U com 80 pessoas, 50 estão em A∪B. Quantas estão em nenhum?
8. Se n(A∪B∪C)=70, n(A)+n(B)+n(C)=95, as interseções duplas somam 30, então n(A∩B∩C)=:
9. Em uma pesquisa com 120 pessoas, 70 gostam de A, 55 de B e 35 dos dois. Quantas gostam de exatamente um dos dois?
10. Um conjunto A tem 6 elementos. Quantos subconjuntos próprios ele possui?
11. Em 90 alunos, 40 fazem Inglês, 36 Espanhol, 30 Francês, 12 Inglês e Espanhol, 10 Inglês e Francês, 8 Espanhol e Francês e 4 fazem as três. Quantos fazem pelo menos uma língua?
12. Com os dados do exercício 11, quantos fazem exatamente duas línguas?
Gabarito comentado: 1-B, união junta sem repetir; 2-B, b é elemento; 3-B, vazio é ∅; 4-A, 40+25-10=55; 5-C, 25=32; 6-C, somente A é A-B; 7-B, 80-50=30; 8-B, 70=95-30+x, então x=5.
9-A, somente A mais somente B = (70-35)+(55-35)=55. 10-C, subconjuntos próprios = 26-1=63. 11-C, 40+36+30-12-10-8+4=80. 12-A, exatamente duas = (12-4)+(10-4)+(8-4)=18.
Resumo final
- Conjunto é um grupo bem definido; elemento é cada item dentro dele.
- Elemento pertence: x ∈ A. Conjunto está contido: B ⊆ A.
- União junta; interseção pega o comum; diferença retira.
- “Somente A” é A - B; “nenhum” fica fora da união.
- “Pelo menos” inclui o caso maior: pelo menos duas categorias inclui quem está em exatamente duas e também quem está nas três.
- “Exatamente” limita a quantidade: exatamente duas categorias não inclui quem está nas três.
- n(A) conta elementos; n(A ∪ B) conta quem está em A ou B sem repetir.
- Para dois conjuntos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B).
- Para três conjuntos, subtraia as interseções duplas e some a interseção tripla.
- P(A) é o conjunto das partes; se n(A)=n, então n(P(A)) = 2n.
- De Morgan: negar união vira interseção dos complementares; negar interseção vira união dos complementares.