Estratégia geral
- Defina o evento e o espaço amostral.
- Confirme se os resultados são equiprováveis.
- Escolha contagem direta ou complementar.
- Separe casos disjuntos; use inclusão-exclusão se houver sobreposição.
- Verifique reposição, dependência e informação adicional.
- Escolha combinação, arranjo ou permutação conforme a ordem.
- Confira se a probabilidade está entre 0 e 1.
Complementar e inclusão-exclusão
P(pelo menos um)=1−P(nenhum)
O complementar evita somar muitos casos sobrepostos, como diferentes pares de aniversariantes.
Casos disjuntos
Se A e B não podem ocorrer juntos, P(A∪B)=P(A)+P(B).
Dois eventos
A interseção é subtraída porque foi contada duas vezes.
Três eventos
P(A)+P(B)+P(C)
−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)
+P(A∩B∩C)
Entre 1 e 100, múltiplos de 2, 3 ou 5 totalizam 50+33+20−16−10−6+3=74.
Aniversários e Monty Hall
Aniversários
Suponha 365 dias, sem bissextos, aniversários independentes e dias equiprováveis. Para n≤365:
365·364·…·(365−n+1)/365ⁿ
P(coincidência)=1−P(todos diferentes)
Para 23 pessoas, a coincidência é aproximadamente 50,7%. Para mais de 365, o princípio da casa dos pombos garante coincidência.
Monty Hall: regras necessárias
- Três portas: um prêmio e duas perdas.
- O participante escolhe uma.
- O apresentador sabe onde está o prêmio.
- Ele sempre abre uma porta não escolhida com perda.
- Ele sempre oferece a troca.
- Se puder abrir duas perdas, usa regra neutra.
A escolha inicial acerta com 1/3 e erra com 2/3. Trocar vence exatamente quando a escolha inicial estava errada, logo oferece 2/3. Se as regras do apresentador mudarem, a resposta pode mudar.
Urnas e cartas
Urna sem reposição
Atualize a composição, multiplique ao longo de cada ordem e some ordens incompatíveis:
=C(v,1)C(a,1)/C(v+a,2)
Os métodos sequencial e por combinação devem coincidir.
Cartas
Uma sequência de retiradas é ordenada; uma mão é não ordenada e costuma usar combinações. Para duas cartas, “pelo menos um ás” pode ser calculado por 1−C(48,2)/C(52,2). Exatamente um rei usa C(4,1)C(48,1)/C(52,2). Duas do mesmo naipe usam 4C(13,2)/C(52,2).
Caminhos, pares, moedas e senhas
Caminhos mínimos
C(r+s,r)=(r+s)!/(r!s!)
Por um ponto obrigatório, multiplique os caminhos dos dois trechos. Para evitar um ponto, subtraia do total os caminhos que passam por ele. Casos disjuntos são somados.
Pares e encontros
Entre n pessoas, apertos de mão ou partidas em turno único totalizam C(n,2), pois a ordem do par não importa.
Moedas
Use C para cara e O para coroa. Em três lançamentos, “ao menos uma C e uma O” exclui CCC e OOO.
Senhas e números
“Alguma repetição” é o complementar de “todos diferentes”. Em números, o primeiro algarismo não pode ser zero; em senhas, pode, salvo restrição. Para exigir ao menos um zero e repetição, conte senhas com zero e subtraia as que têm zero e todos os símbolos distintos.
Permutações sem ponto fixo podem ser contadas diretamente ou por inclusão-exclusão em casos pequenos, sem fórmula geral avançada.
Como escolher a técnica
| Estrutura | Estratégia |
|---|---|
| Pelo menos um | Complementar |
| Casos incompatíveis | Somar |
| Casos sobrepostos | Inclusão-exclusão |
| Etapas sucessivas | Multiplicar |
| Informação adicional | Condicional |
| Ordem irrelevante | Combinação |
| Ordem relevante | Arranjo ou permutação |
| Sem reposição | Atualizar probabilidades |
| Coincidência difícil | Contar o oposto |
Pegadinhas
- Não some casos sobrepostos sem retirar a interseção.
- Prefira o complementar quando “pelo menos um” gera sobreposição.
- Sem reposição, as retiradas não são independentes.
- Não misture mão não ordenada e sequência ordenada.
- Monty Hall exige as seis regras declaradas.
- Em números, trate o zero inicial; em senhas, verifique se é permitido.
- Casos favoráveis e possíveis devem usar o mesmo modelo.
- Por ponto obrigatório, multiplique os trechos.
- Para n>365 no aniversário, use casa dos pombos.
- A aproximação dos aniversários pressupõe dias equiprováveis.
- Use C para cara e O para coroa.
Questões resolvidas
1. Complementar
Ao menos um 6 em três dados.
O oposto é nenhum 6.
1−(5/6)³=91/216.
2. Inclusão-exclusão
60 gostam de A, 45 de B e 25 de ambos.
60+45−25.
80 gostam de ao menos um.
3. Aniversários
23 pessoas sob as hipóteses usuais.
Use o complementar de todas as datas diferentes.
Aproximadamente 50,7%.
4. Monty Hall
Vale trocar?
Trocar vence quando a escolha inicial erra.
Probabilidade 2/3.
5. Urna
2V, 3A; uma de cada sem reposição.
(2/5)(3/4)+(3/5)(2/4).
3/5.
6. Cartas
Ao menos um ás em uma mão de duas cartas.
1−C(48,2)/C(52,2).
1−1128/1326=33/221.
7. Caminho
3 direitas e 2 subidas.
Escolha as posições das duas subidas.
C(5,2)=10.
8. Ponto obrigatório e proibido
De (0,0) a (4,3), ponto (2,1).
Total C(7,3)=35. Pelo ponto: C(3,1)C(4,2)=18.
Evitando o ponto: 35−18=17.
9. Moedas
Ao menos uma C e uma O em três lançamentos.
Exclua CCC e OOO.
1−2/8=3/4.
10. Senha
Senha de quatro dígitos com repetição e ao menos um zero.
Com zero: 10⁴−9⁴=3439. Com zero e todos distintos: 4·9·8·7=2016.
3439−2016=1423.
Exercícios
1. Em três moedas honestas, ao menos uma C e uma O:
2. Oito pessoas dão um aperto de mão por par:
3. De 200 pessoas, 120 têm A, 90 têm B e 50 têm ambos. Ao menos uma:
4. Escolhe-se U₁ ou U₂ com chance 1/2. U₁ tem 3V e 1A; U₂, 1V e 3A. Dada uma V, chance de U₁:
5. Sob as seis regras usuais de Monty Hall, trocar vence com:
6. Caminhos de (0,0) a (4,3), só direita/cima, evitando (2,1):
7. Em duas cartas, chance de ao menos um ás:
8. Com 23 pessoas e hipóteses usuais, coincidência de aniversário é cerca de:
9. Entre 1 e 100, quantos são múltiplos de 2, 3 ou 5?
10. Senhas de quatro dígitos com ao menos um zero e alguma repetição:
Gabarito comentado:
1-A: exclua CCC e OOO: 1−2/8=3/4.
2-C: C(8,2)=28.
3-B: 120+90−50=160.
4-D: (1/2·3/4)/[(1/2·3/4)+(1/2·1/4)]=3/4.
5-B: trocar vence quando a escolha inicial erra.
6-C: C(7,3)−C(3,1)C(4,2)=35−18=17.
7-A: 1−C(48,2)/C(52,2)=33/221.
8-D: aproximação clássica sob as hipóteses declaradas.
9-B: 50+33+20−16−10−6+3=74.
10-C: (10⁴−9⁴)−4·9·8·7=1423.
Resumo final
- “Pelo menos um” costuma pedir complementar.
- Casos sobrepostos exigem inclusão-exclusão.
- Etapas sucessivas multiplicam; casos disjuntos somam.
- Sem reposição, atualize as probabilidades.
- Monty Hall depende das regras do apresentador.
- Caminhos por ponto obrigatório multiplicam trechos.
- Mãos usam combinação; sequências preservam ordem.