Variável aleatória binomial
X∼Bin(n,p), q=1−p
“Sucesso” é apenas a categoria contada, não necessariamente algo positivo. As condições são 0≤p≤1, n inteiro não negativo e k∈{0,1,…,n}.
As quatro condições do modelo
- Existe um número fixo n de ensaios.
- Cada ensaio tem duas categorias: sucesso e fracasso.
- Os ensaios são independentes.
- A probabilidade de sucesso p permanece constante.
Se qualquer condição falhar, a distribuição binomial pode não representar corretamente a situação.
Fórmula e derivação
Uma ordem específica com k sucessos e n−k fracassos tem probabilidade pᵏqⁿ⁻ᵏ, pela independência. Há Cₙ,ₖ formas de escolher as posições dos sucessos. Multiplicando, obtemos a fórmula. Assim, a combinação conta posições e o produto conta a probabilidade de cada sequência.
Tradução das expressões
| Expressão | Evento |
|---|---|
| Exatamente k | P(X=k) |
| Pelo menos k | P(X≥k) |
| No máximo k | P(X≤k) |
| Mais de k | P(X>k) |
| Menos de k | P(X<k) |
P(X≥1)=1−qⁿ
P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)
Some diretamente quando o intervalo tem poucos valores. Use o complementar quando ele exige menos parcelas, como em “pelo menos um”.
Esperança, variância e desvio padrão
Var(X)=npq
σ=√(npq)
A esperança é o número médio de sucessos em muitas repetições; pode ser não inteira e não precisa ser um resultado possível em uma realização. A variância mede a dispersão e o desvio padrão é sua raiz, na mesma unidade de X.
Por que as probabilidades somam 1?
A igualdade é o Binômio de Newton aplicado a p+q=1. Cada k representa uma quantidade possível de sucessos, e esses eventos são incompatíveis e cobrem todas as possibilidades.
Quando o modelo é adequado?
São exemplos usuais: caras em lançamentos independentes, itens defeituosos em amostras independentes, acertos em questões com a mesma chance, testes com sucesso ou falha e clientes que compram sob condições constantes.
Não são binomiais, em geral: retiradas sem reposição de população pequena, probabilidade que muda, mais de duas categorias sem agrupamento, número de tentativas até o primeiro sucesso, ensaios dependentes ou número de ensaios não fixado.
Amostragem sem reposição
Sem reposição, a composição da população muda e a probabilidade de sucesso geralmente deixa de ser constante. O modelo exato costuma ser hipergeométrico, não binomial. Em populações muito grandes pode existir aproximação, mas ela não deve ser usada automaticamente nem substitui a verificação das quatro condições.
Roteiro de resolução
- Identifique n.
- Defina claramente o sucesso.
- Determine p e q=1−p.
- Verifique independência.
- Confirme que p é constante.
- Traduza exatamente, pelo menos, no máximo, mais ou menos de.
- Escolha entre soma direta e complementar.
- Substitua k e n−k na fórmula.
- Calcule combinações e potências.
- Confirme que o resultado está entre 0 e 1.
Pegadinhas
- Tratar sucesso como resultado necessariamente positivo.
- Usar p no lugar de q ou trocar os expoentes k e n−k.
- Esquecer Cₙ,ₖ.
- Usar binomial sem independência ou com p variável.
- Confundir “pelo menos” com “exatamente”.
- Somar valores fora do intervalo pedido ou ignorar um complementar curto.
- Usar E(X)=p em vez de np.
- Confundir variância com desvio padrão.
- Aceitar k fora de 0,…,n.
- Aplicar binomial automaticamente em retirada sem reposição.
Questões resolvidas
1. Exatamente k
Moeda honesta lançada 5 vezes: exatamente 3 caras.
C₅,₃(1/2)³(1/2)²=10/32.
Resposta: 5/16.
2. Nenhum sucesso
Um item falha com probabilidade 0,2. Em 4 itens independentes, nenhuma falha.
q=0,8 e P(X=0)=0,8⁴.
Resposta: 0,4096.
3. Pelo menos um
No mesmo problema, pelo menos uma falha.
Use o complementar: 1−0,8⁴.
Resposta: 0,5904.
4. No máximo um
X∼Bin(5;0,2). Calcule P(X≤1).
P(0)+P(1)=0,8⁵+5·0,2·0,8⁴.
Resposta: 0,32768+0,4096=0,73728.
5. Intervalo
X∼Bin(4;0,5). Calcule P(2≤X≤4).
É mais curto usar 1−P(0)−P(1)=1−1/16−4/16.
Resposta: 11/16.
6. Esperança
X∼Bin(20;0,3).
E(X)=np=20·0,3=6.
7. Variância e desvio
No mesmo modelo.
Var(X)=20·0,3·0,7=4,2.
σ=√4,2≈2,05.
8. Determinar p
X∼Bin(10,p) e E(X)=4. Calcule P(X=0).
10p=4, então p=0,4 e q=0,6.
Resposta: 0,6¹⁰≈0,00605.
9. Modelo inadequado
Retiram-se 3 peças sem reposição de um lote pequeno.
A probabilidade muda após cada retirada, violando p constante e independência.
Conclusão: não é binomial exata.
Exercícios
1. Um modelo binomial exige:
2. Se X∼Bin(4;0,5), P(X=0) é:
3. Quatro questões V/F são respondidas ao acaso. A probabilidade de exatamente 2 acertos é:
4. Em 3 ensaios independentes, p=0,2. A probabilidade de pelo menos um sucesso é:
5. Se X∼Bin(5;0,2), P(X≤1) é:
6. Se X∼Bin(12;0,25), E(X) vale:
7. Para X∼Bin(10;0,3), o par (variância, desvio padrão aproximado) é:
8. Qual situação não é binomial exata?
9. X∼Bin(10,p) e E(X)=4. O valor de P(X=1) é aproximadamente:
10. X é binomial, E(X)=3 e Var(X)=2,1. O par (n, P(X=0)) é aproximadamente:
Gabarito comentado:
1-D: são as quatro condições obrigatórias.
2-A: q⁴=(0,5)⁴=1/16.
3-C: C₄,₂(1/2)⁴=6/16=3/8.
4-B: 1−0,8³=1−0,512=0,488.
5-D: 0,8⁵+5·0,2·0,8⁴=0,73728.
6-A: E(X)=12·0,25=3.
7-C: Var(X)=10·0,3·0,7=2,1 e σ=√2,1≈1,45.
8-B: sem reposição, p muda e os ensaios não são independentes.
9-C: p=4/10=0,4; P(X=1)=10·0,4·0,6⁹≈0,04031.
10-D: np=3 e npq=2,1 dão q=0,7, p=0,3 e n=10. Assim, P(0)=0,7¹⁰≈0,02825.
Resumo final
- X∼Bin(n,p) conta sucessos em n ensaios independentes com p constante.
- P(X=k)=Cₙ,ₖpᵏqⁿ⁻ᵏ, com q=1−p e 0≤k≤n.
- Pelo menos um é 1−qⁿ.
- E(X)=np, Var(X)=npq e σ=√npq.
- Sem reposição relevante geralmente não é binomial.