Definição algébrica
A e B são independentes quando:
Essa é a definição principal e continua válida quando algum evento tem probabilidade zero. Dizer que um evento “não altera a probabilidade do outro” é sua interpretação.
Equivalências condicionais
Se P(A)>0: P(B|A)=P(B)
As condições de probabilidade positiva são indispensáveis porque a probabilidade condicional divide por P(B) ou P(A). Para testar independência sem essas condições, use diretamente a definição pelo produto.
Independência não é incompatibilidade
Independentes: P(A∩B)=P(A)P(B)
Se P(A)>0 e P(B)>0, eventos mutuamente exclusivos não são independentes, pois P(A)P(B)>0. Eventos independentes podem ocorrer simultaneamente.
Um evento de probabilidade zero é independente de qualquer B porque P(A∩B)=0=P(A)P(B). Se P(A)=1, então B⊆A salvo resultados de probabilidade zero no modelo elementar, e P(A∩B)=P(B)=P(A)P(B).
Mesmo experimento e união
No lançamento de um dado, A={2,4,6} e B={3,6}. Então P(A)=1/2, P(B)=1/3 e P(A∩B)=1/6=(1/2)(1/3). Portanto, podem ser independentes dentro do mesmo experimento.
Se independentes: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A)P(B)
Complementares e repetição
Se A e B são independentes, também são independentes Aᶜ e B, A e Bᶜ, Aᶜ e Bᶜ. Por exemplo:
P(Aᶜ∩Bᶜ)=P(Aᶜ)P(Bᶜ)
Lançamentos separados, testes repetidos nas mesmas condições e retiradas com reposição costumam preservar as probabilidades. Sem reposição, elas geralmente mudam e os eventos tornam-se dependentes. Uma sequência específica de resultados independentes usa o produto.
Três ou mais eventos
Para A, B e C serem mutuamente independentes, não basta testar os pares. É necessário:
e P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)
As três primeiras igualdades dão independência dois a dois; a última verifica a independência conjunta.
Sistemas em série e paralelo
Sob independência, um sistema em série funciona somente se todos os componentes funcionarem:
Em paralelo, basta um funcionar. Use o complementar de todos falharem:
Dois componentes: 1−(1−p₁)(1−p₂)
Essas fórmulas exigem independência entre as falhas ou funcionamentos considerados.
Roteiro de resolução
- Defina os eventos.
- Calcule P(A), P(B) e P(A∩B).
- Teste a igualdade do produto.
- Não conclua apenas pelo contexto.
- Verifique se há reposição.
- Separe independência de incompatibilidade.
- Use a forma condicional somente com denominador positivo.
- Em “pelo menos um”, considere o complementar.
- Com três eventos, teste também a interseção tripla.
Pegadinhas
- Confundir independentes com disjuntos.
- Presumir independência porque os eventos parecem diferentes ou envolvem dois objetos.
- Presumir dependência porque pertencem ao mesmo experimento.
- Usar probabilidade condicional com denominador zero.
- Multiplicar probabilidades de eventos dependentes.
- Esquecer a interseção na união.
- Confundir independência dois a dois com mútua.
- Tratar retirada sem reposição como independente.
- Usar a regra de série em sistema paralelo.
Questões resolvidas
1. Teste direto
P(A)=0,4, P(B)=0,5 e P(A∩B)=0,2.
P(A)P(B)=0,4·0,5=0,2.
Conclusão: são independentes.
2. Um mesmo dado
A: resultado par; B: múltiplo de 3.
P(A)=1/2, P(B)=1/3 e A∩B={6}, logo P(A∩B)=1/6.
Conclusão: são independentes.
3. Forma condicional
A e B independentes, P(A)=0,4 e P(B)>0. Calcule P(A|B).
Independência implica P(A|B)=P(A).
Resposta: 0,4.
4. União
Independentes com P(A)=0,6 e P(B)=0,5.
P(A∪B)=0,6+0,5−0,6·0,5.
Resposta: 0,8.
5. Complementares
P(A)=0,3 e P(B)=0,4, com independência. Calcule P(Aᶜ∩B).
P(Aᶜ)=0,7 e Aᶜ é independente de B.
Resposta: 0,7·0,4=0,28.
6. Com e sem reposição
Urna com 3 vermelhas e 2 azuis; duas retiradas vermelhas.
Com reposição: (3/5)²=9/25. Sem reposição: (3/5)(2/4)=3/10.
Sem reposição, a primeira retirada altera a segunda probabilidade.
7. Sistema em série
Componentes independentes com confiabilidades 0,9 e 0,8.
Ambos precisam funcionar: 0,9·0,8=0,72.
8. Sistema em paralelo
Os mesmos componentes em paralelo.
Falhas simultâneas: 0,1·0,2=0,02.
Resposta: 1−0,02=0,98.
Exercícios
1. Se P(A)=0,3 e P(B)=0,4 são independentes, P(A∩B) é:
2. Qual afirmação caracteriza independência?
3. Independentes com P(A)=0,3 e P(B)=0,4. P(A∪B) é:
4. A e B são independentes, P(A)=0,6 e P(B)>0. P(A|B) é:
5. Independentes com P(A)=0,2 e P(B)=0,5. P(Aᶜ∩Bᶜ) é:
6. Urna com 4 vermelhas e 6 azuis. Com reposição, a probabilidade de duas vermelhas é:
7. Na mesma urna, sem reposição, a probabilidade de duas vermelhas é:
8. Três componentes independentes em série funcionam com probabilidade 0,9 cada. A confiabilidade é:
9. A está em série com um bloco paralelo formado por B e C. As confiabilidades independentes são 0,9, 0,8 e 0,7. A confiabilidade do sistema é:
10. Em dois lançamentos de moeda, A: primeira cara; B: segunda cara; C: faces iguais. Esses eventos são:
Gabarito comentado:
1-B: 0,3·0,4=0,12.
2-C: a definição é a igualdade entre interseção e produto.
3-A: 0,3+0,4−0,12=0,58.
4-D: com P(B)>0, independência dá P(A|B)=P(A)=0,6.
5-C: P(Aᶜ)P(Bᶜ)=0,8·0,5=0,4.
6-B: (4/10)²=0,16.
7-A: (4/10)(3/9)=12/90=2/15; sem reposição há dependência.
8-D: 0,9³=0,729.
9-C: o bloco paralelo vale 1−0,2·0,3=0,94; em série com A: 0,9·0,94=0,846.
10-B: cada par tem interseção 1/4, igual ao produto 1/2·1/2. Porém P(A∩B∩C)=1/4, diferente de 1/8.
Resumo final
- Independência é definida por P(A∩B)=P(A)P(B).
- Eventos disjuntos de probabilidades positivas não são independentes.
- Com reposição tende a preservar probabilidades; sem reposição geralmente cria dependência.
- Série multiplica funcionamentos; paralelo usa o complementar das falhas.