Arranjo simples
Há n elementos distintos, escolhem-se p e a ordem, posição ou função ocupada altera o resultado. Não há repetição; n e p são inteiros não negativos e 0≤p≤n.
O produto tem exatamente p fatores. Trocar presidente e vice, por exemplo, produz outra distribuição.
Derivação pelo princípio fundamental
A primeira posição tem n opções; usada uma, a segunda tem n−1; depois n−2, até completar p posições. Como são etapas sucessivas, multiplicam-se as quantidades.
Isso explica a fórmula e mostra por que ela deixa de valer se a repetição for permitida.
Casos particulares e relações
Há uma sequência vazia; uma escolha para uma posição; e, usando todos, uma permutação simples.
Primeiro escolha o grupo sem ordem e depois ordene seus p integrantes.
Qual método usar?
| Situação | Método |
|---|---|
| Etapas sucessivas com repetição possível | Princípio Fundamental da Contagem |
| Usar todos e ordenar | Permutação |
| Escolher parte e ordenar | Arranjo |
| Escolher parte sem ordenar | Combinação |
Não decida pela palavra “escolher”; pergunte se trocar posições gera outro resultado.
Repetição, senhas e números
Com p posições e n símbolos disponíveis em cada uma, permitindo repetição, o PFC produz nᵖ. É comum em senhas, códigos e sequências.
- Senha: zero pode iniciar.
- Número: zero não pode ser o primeiro algarismo.
- Algarismos distintos: reduza as opções após cada uso.
- Paridade e divisibilidade por 5: trate primeiro a última posição.
Roteiro de resolução
- Identifique as posições a preencher.
- Verifique se trocar posições produz outro resultado.
- Decida se a repetição é permitida.
- Verifique se todos os elementos serão utilizados.
- Analise restrições na primeira e na última posição.
- Separe os casos incompatíveis, sem sobreposição.
- Some as quantidades obtidas em casos incompatíveis.
- Multiplique as etapas sucessivas dentro de cada caso.
Restrições e casos
Em números pares com algarismos distintos, separe o caso em que a unidade é zero dos casos em que é par não nula: a quantidade disponível para a primeira posição muda.
Em cargos, conte o total e subtraia distribuições proibidas quando os conjuntos não se sobrepõem de modo ambíguo.
Pegadinhas
- Usar arranjo quando a ordem não importa ou combinação em cargos diferentes.
- Esquecer que não há repetição no arranjo simples.
- Usar nᵖ quando os símbolos precisam ser distintos ou usar Aₙ,ₚ quando a repetição é permitida.
- Permitir zero na primeira posição de um número ou proibi-lo na primeira posição de uma senha.
- Multiplicar casos incompatíveis ou somar etapas sucessivas.
- Contar a mesma situação em dois casos.
Questões resolvidas
1. Pódio
Dez atletas disputam ouro, prata e bronze.
A₁₀,₃=10·9·8=720.
2. Cálculo direto
A₈,₃.
8!/(8−3)!=8·7·6=336.
3. Sem zero
Números de três algarismos distintos com {1,2,3,4,5}.
5·4·3=60.
4. Zero disponível
Números de quatro algarismos distintos com {0,1,2,3,4,5}.
Primeiro: 5 opções não nulas; depois 5·4·3. Total 300.
5. Números pares
Quatro algarismos distintos com {0,1,2,3,4,5}.
Unidade 0: 5·4·3=60. Unidade 2 ou 4: 2·4·4·3=96. Total 156.
Exercícios
1. A₇,₂ vale:
2. Escolher presidente e vice entre 10 pessoas usa:
3. Pódios possíveis com 8 finalistas:
4. Senhas de quatro algarismos, com repetição e zero inicial:
5. Números de três algarismos distintos formados com {0,1,2,3,4,5}:
6. C₈,₃·3! é:
7. Se Aₙ,₂=30, com n inteiro positivo, então n vale:
8. Quantos números de três algarismos distintos, divisíveis por 5, usam {0,1,2,3,4,5,6}?
9. Quantos números pares de cinco algarismos distintos, maiores que 30000, usam {0,1,2,3,4,5}?
10. Presidente, vice e secretário são escolhidos entre 8 pessoas. Ana e Beto não podem ocupar cargos simultaneamente. Quantas escolhas?
Gabarito comentado:
1-B: 7·6=42.
2-A: cargos diferentes tornam a ordem relevante.
3-D: 8·7·6=336.
4-C: cada posição tem 10 opções: 10⁴.
5-B: 5 opções iniciais não nulas, depois 5 e 4.
6-A: C₈,₃·3!=A₈,₃=336.
7-D: Aₙ,₂=n(n−1)=30; n²−n−30=0 e a solução positiva é n=6.
8-C: unidade 0: 6·5=30; unidade 5: 5·5=25; total 55.
9-C: primeiro 3 ou 5 dá 3·24 cada; primeiro 4 dá 2·24: total 192.
10-D: A₈,₃=336; com ambos, 3·2·6=36; válidas 300.
Resumo final
- Arranjo simples: parte escolhida, ordem relevante, sem repetição.
- Aₙ,ₚ=n!/(n−p)!=Cₙ,ₚp!.
- Senha e número tratam o zero inicial de modos diferentes.
- Restrições na primeira ou última posição pedem separação de casos.