Forma linear
A diofantina mais importante no inicio e ax + by = c. Ela aparece em combinacoes, troco, contagem de passos e problemas de resto.
Criterio de existencia
A equacao ax + by = c tem solucao inteira se, e somente se, mdc(a,b) divide c. Esse e o primeiro teste, sempre.
Parametrizacao
Se existe uma solucao particular, todas as outras aparecem por deslocamentos controlados. Isso transforma o problema de encontrar varias solucoes em um problema de escrever uma familia.
Como achar uma solucao particular
O jeito mais limpo e usar Bezout. Primeiro resolva ax + by = d, onde d = mdc(a,b). Depois ajuste para c multiplicando tudo por c/d.
Restricoes nas solucoes
Muitas vezes a questao nao quer qualquer inteiro, mas solucoes positivas, naturais ou dentro de um intervalo. Depois da parametrizacao, voce transforma isso em desigualdades para t.
E por isso que diofantina nao e so conta: ela mistura divisibilidade com leitura de intervalo.