Pular para o conteúdo da aula
EstudaMath

Inscrição e circunscrição

Módulo 4 de 5 · Relações gerais

Relações gerais entre raio, lado e apótema e o processo para dobrar o número de lados.

1. Fórmula geral do apótema

No triângulo central AOB, o ponto M é o ponto médio do lado AB. Logo, AM = ℓn/2 e OM = an.

Triângulo retângulo usado na fórmula geral do apótemaOA é o raio R, OM é o apótema e AM é metade do lado do polígono.OABMRaₙℓₙ/2
O triângulo OMA é retângulo em M. A fórmula é apenas o teorema de Pitágoras isolando a altura.
an² + (ℓn2)² = R²
an = √(4R² − ℓn²)2

Essa expressão vale para qualquer polígono regular inscrito, desde que R e ℓn pertençam ao mesmo polígono.

2. Como obter o lado de um polígono com o dobro de lados

Conhecendo ℓn, inserimos o ponto médio do arco entre dois vértices consecutivos. A nova corda é ℓ2n.

Construção do lado do polígono com o dobro de ladosA corda AB é o lado l n. O ponto C divide o arco, e AC e CB são lados l 2n. O apótema encontra AB em M.ABCOMaₙℓ₂ₙℓ₂ₙℓₙ
A distância entre C e a reta AB é R − an. As relações métricas do triângulo retângulo dão a nova corda.
ℓ2n² = 2R(R − an)

Substituindo a fórmula geral do apótema:

ℓ2n = √[R(2R − √(4R² − ℓn²))]
Uso em cadeia: de ℓ6 obtemos ℓ12; depois ℓ24, ℓ48 e assim por diante.

3. Aplicações diretas

Do quadrado ao octógono

Como ℓ4 = R√2, aplicamos a fórmula de duplicação com n = 4.

ℓ8 = R√(2 − √2)

Do hexágono ao dodecágono

Como ℓ6 = R, a duplicação produz:

ℓ12 = R√(2 − √3)

Apótemas do decágono e do pentágono

Substituindo os lados exatos na fórmula geral e escolhendo a raiz positiva:

a10 = R√(10 + 2√5)4
a5 = R(√5 + 1)4

4. Estratégia recomendada pelo livro

Nos exercícios, em geral, não é necessário começar pelas fórmulas mais longas. Um esboço costuma revelar uma diagonal de quadrado ou uma altura de triângulo equilátero.

  1. Desenhe o centro, dois vértices consecutivos e o apótema.
  2. Identifique se aparece um quadrado, um triângulo equilátero ou um triângulo retângulo conhecido.
  3. Marque claramente R, an e ℓn/2 antes de calcular.
  4. Use Pitágoras e simplifique os radicais apenas no fim.
Erro comumUsar ℓn inteiro no triângulo retângulo central. O cateto é ℓn/2.
Outra atençãoO apótema é perpendicular ao lado; o raio circunscrito termina no vértice.