Inscrição e circunscrição — Questões

Questões remodeladas do livro

Os enunciados mantêm os dados e o raciocínio dos exercícios 701 a 720. A adaptação foi feita apenas para alternativas e correção comentada.

Os desenhos aparecem quando ajudam a reconhecer o triângulo central ou a relação entre duas figuras. As questões puramente algébricas permanecem textuais.

Casos clássicos

Livro · exercício 701

1. Um quadrado tem lado 8 m. Quais são, respectivamente, sua diagonal, o raio da circunferência circunscrita, o raio da inscrita e o apótema?

A) 8; 4; 4√2; 4√2B) 8√2; 4√2; 4; 4C) 16; 8; 4; 8D) 8√2; 8; 4√2; 4

Resolução: a diagonal vale 8√2 e é o diâmetro, então R = 4√2. A circunferência inscrita toca os lados no meio; seu raio e o apótema valem 4.

Livro · exercício 702

2. Num hexágono regular de lado 6 m, quais são a diagonal maior, R, o raio inscrito, a diagonal menor e o apótema?

A) 6; 3; 3√3; 6; 3√3B) 12; 6; 3; 6√3; 3C) 12; 6; 3√3; 6√3; 3√3D) 6√3; 6; 3√3; 12; 6

Resolução: no hexágono ℓ₆ = R = 6. A diagonal maior mede 2R = 12; o apótema e o raio inscrito valem 6√3/2 = 3√3; a diagonal menor vale R√3 = 6√3.

Livro · exercício 703

3. Para lado 12 m, quais são os raios circunscritos do quadrado, do hexágono e do triângulo equilátero?

A) 6√2; 12; 4√3B) 12√2; 6; 6√3C) 6; 12√3; 4√2D) 12; 6√2; 4√3

Resolução: de ℓ₄ = R√2 vem R = 6√2; no hexágono R = ℓ₆ = 12; de ℓ₃ = R√3 vem R = 12/√3 = 4√3.

Livro · exercício 704

4. Uma circunferência tem raio 6 m. Quais são os lados do quadrado, do hexágono e do triângulo equilátero inscritos?

A) 12; 6√2; 6B) 6√2; 6; 6√3C) 3√2; 6; 12√3D) 6; 6√3; 6√2

Resolução: substituímos R = 6 em ℓ₄ = R√2, ℓ₆ = R e ℓ₃ = R√3.

Livro · exercício 705

5. Para lado 6 m, quais são os apótemas do quadrado, do hexágono e do triângulo equilátero?

A) 3√2; 3; 2√3B) 6; 3√3; √3C) 3; 6√3; 2D) 3; 3√3; √3

Resolução: a₄ = ℓ/2 = 3; a₆ = ℓ√3/2 = 3√3; a₃ = ℓ√3/6 = √3.

Livro · exercício 706

6. Um quadrado, um hexágono e um triângulo equilátero têm apótema 6 m. Quais são seus lados, nessa ordem?

A) 12; 4√3; 12√3B) 6√2; 12; 4√3C) 12; 12√3; 4√3D) 6; 4√3; 6√3

Resolução: invertendo as relações: ℓ₄ = 2a = 12; ℓ₆ = 2a/√3 = 4√3; ℓ₃ = 2a√3 = 12√3.

Comparações e aplicações

Livro · exercício 709

7. Um triângulo equilátero tem altura 6 cm. Determine o raio inscrito, o lado, o apótema e o raio circunscrito.

A) 3; 4√3; 3; 6B) 2; 6√3; 2; 4C) 2; 4√3; 2; 4D) √3; 4√3; √3; 6

Resolução: no equilátero, R = 2h/3 = 4 e r = a₃ = h/3 = 2. De h = ℓ√3/2 resulta ℓ = 4√3.

Livro · exercício 710

8. Num hexágono regular de lado 5 cm, determine o apótema, o raio inscrito e a diagonal que pula um vértice.

A) 5; 5; 10B) 5√3; 5√3/2; 5C) 5√3/2; 5√3/2; 5√3D) 5/2; 5/2; 5√2

Resolução: o apótema e o raio inscrito valem ℓ√3/2 = 5√3/2. A diagonal menor reúne duas alturas de triângulos equiláteros e mede 5√3.

Livro · exercício 711

9. Qual é a razão entre o perímetro do quadrado inscrito num círculo de raio R e o perímetro do quadrado circunscrito ao mesmo círculo?

A) 1/2B) √2/2C) √3/2D) 2/√3

Resolução: o quadrado inscrito tem lado R√2 e perímetro 4R√2. O circunscrito tem lado 2R e perímetro 8R. A razão é √2/2.

Livro · exercício 713

10. Um quadrado e um hexágono regular estão inscritos no mesmo círculo. Qual é a razão a₄/a₆ entre seus apótemas?

A) √2/2B) √3/3C) √3/2D) √6/3

Resolução: a₄ = R√2/2 e a₆ = R√3/2. Dividindo e racionalizando: a₄/a₆ = √2/√3 = √6/3.

Decágono e pentágono

Livro · exercício 717

11. O raio de uma circunferência mede 2 m. Qual é o lado do decágono regular inscrito?

A) √5 − 1B) √5 + 1C) (√5 − 1)/2D) 2√5 − 1

Resolução: ℓ₁₀ = R(√5 − 1)/2. Com R = 2, obtemos ℓ₁₀ = √5 − 1.

Livro · exercício 720

12. Qual é o lado do pentágono regular inscrito numa circunferência de raio R?

A) R(√5 − 1)/2B) R√(10 + 2√5)/2C) R√(10 − 2√5)/2D) R(√5 + 1)/4

Resolução: pelo triângulo retângulo do livro, ℓ₅² = ℓ₆² + ℓ₁₀². Substituindo ℓ₆ = R e ℓ₁₀ = R(√5 − 1)/2, resulta ℓ₅ = R√(10 − 2√5)/2.