Deduções do lado e do apótema do quadrado, do hexágono regular e do triângulo equilátero, conforme o item 219 do livro.
1. O triângulo central organiza o cálculo
Ligamos o centro O a dois vértices consecutivos A e B. Surge um triângulo isósceles de lados OA = OB = R, base AB = ℓn e ângulo central 360°/n.
Ao traçar OM até o ponto médio M de AB, o triângulo se divide em dois triângulos retângulos. É nesse desenho que aparecem o apótema an e a metade do lado.
O livro reduz cada caso a esse triângulo. Depois, usa Pitágoras, altura de equilátero ou relações já demonstradas.
Leitura correta: R é o raio da circunferência circunscrita; an é o raio da inscrita. Eles não são iguais em geral.
2. Quadrado inscrito
No quadrado, o ângulo central mede 90°. Assim, △AOB é retângulo isósceles, com catetos R e hipotenusa ℓ4.
A diagonal do quadrado é um diâmetro da circunferência. O apótema chega perpendicularmente ao ponto médio de um lado.
ℓ4² = R² + R² ⇒ ℓ4 = R√2
Como o apótema também é metade da diagonal de um quadrado menor formado pelos pontos médios, ou pela metade do triângulo central:
a4 = ℓ42 = R√22
3. Hexágono regular inscrito
No hexágono, o ângulo central mede 60°. Como OA = OB = R, os outros dois ângulos também medem 60°: △AOB é equilátero.
O raio e o lado do hexágono coincidem. O apótema é a altura de um triângulo equilátero de lado R.
ℓ6 = R e a6 = R√32
Diagonal maiorLiga vértices opostos, passa pelo centro e mede 2R.
Diagonal menorÉ a altura de dois triângulos equiláteros justapostos e mede R√3.
4. Triângulo equilátero inscrito
O livro prolonga uma altura até a circunferência. O segmento obtido é um diâmetro 2R, e o triângulo auxiliar é retângulo.
No triângulo ACD, AC = ℓ₃, AD = 2R e CD = R. A altura do equilátero também passa pelo centro.
ℓ3² = (2R)² − R² ⇒ ℓ3 = R√3
O centro coincide com o baricentro do triângulo equilátero e divide a altura na razão 2:1. Logo, o apótema é a terça parte da altura e vale metade de R.