1. Lado do decágono regular
No decágono, o ângulo central mede 36°. O triângulo AOB é isósceles, e seus ângulos da base medem 72°.
O livro traça a bissetriz BC do ângulo em B. Surgem dois triângulos isósceles e o segmento OC passa a medir o próprio lado ℓ10. Assim, AC = R − ℓ10.
A semelhança de medidas produzida pela bissetriz transforma a figura numa equação de segundo grau.
ℓ10R = R − ℓ10ℓ10 ⇒ ℓ10² + Rℓ10 − R² = 0
A equação tem duas raízes, mas comprimento é positivo. Conservamos apenas a raiz que convém à figura.
ℓ10 = R(√5 − 1)2
2. Por que aparece o segmento áureo?
O item 220 define x como segmento áureo de um segmento a quando a parte menor está para a maior assim como a maior está para o todo.
A proporção gera a mesma equação encontrada no cálculo do lado do decágono.
xa = a − xx ⇒ x² + ax − a² = 0
x = a(√5 − 1)2
Conclusão do livro: ℓ10 é o segmento áureo do raio R. Isso explica por que √5 aparece no decágono.
3. Lado do pentágono regular
Para um mesmo raio R, o livro demonstra que ℓ5 é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são ℓ6 e ℓ10.
A construção completa usa tangência e potência de ponto; o resultado métrico final é um Pitágoras.
ℓ5² = ℓ6² + ℓ10²
Substituímos ℓ6 = R e o valor já obtido para ℓ10, simplificando somente ao final.
ℓ5 = R√(10 − 2√5)2
Controle de sentido: ℓ5 deve ser maior que ℓ6 e que ℓ10, pois corresponde a um arco central maior.
4. Como usar os resultados sem decorar tudo
DecágonoComece pelo triângulo central de 36° e pela bissetriz: ℓ10 é o segmento áureo de R.
PentágonoUse o triângulo retângulo com catetos ℓ6 e ℓ10.
VerificaçãoQuanto maior o número de lados, menor é o lado para um mesmo raio: ℓ5 > ℓ6 > ℓ10.
As razões trigonométricas fornecem fórmulas equivalentes, mas o desenvolvimento acima segue a construção geométrica do livro.